РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1180 Добавить в вариант

На продолжении стороны AC треугольника ABC за точку A отмечена точка T такая, что $\angle BAC = 2\angle BTC.$ Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что AB = AC, BT = 70, AT = 37.

Спрятать решение

Решение.

Пусть $\angle B T A= альфа ,$ тогда по условию $\angle B A C=2 альфа .$ Треугольник ABC  — равнобедренный с основанием BC, поэтому

$\angle A B C=\angle A C B= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 2 альфа правая круглая скобка =90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа .$

По сумме углов треугольника TBC получаем, что

$\angle T B C=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle T C B минус \angle B T C=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Кроме того,

$\angle T B A=\angle T B C минус \angle A B C= альфа .$

Из равенства углов следует, что треугольники ABT и ABC равнобедренные, $A C=A B=A T.$ Тогда получаем

$C T=2 A T=74,$ $\quad B C= корень из: начало аргумента: C T в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус B T в квадрате правая круглая скобка =24,$

$S_\triangle B T C= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на B C умножить на B T=840,$

$S_\triangle A B C= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби S_\triangle B C T=420.$

Ответ: 420.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Доказано, что треугольник BTC прямоугольный — 2 балла.

Аналоги к заданию № 1180: 1187 Все

Олимпиада школьников Физтех, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Треугольник произвольный, Методы геометрии. Теорема Пифагора

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь