РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 780 Добавить в вариант

В треугольнике ABC проведена медиана BM, в треугольнике MCB — медиана BN, в треугольнике BNA — медиана NK. Оказалось, что $NK\perp BM.$ Найдите отношение AC : BC.

Спрятать решение

Решение.

Обозначим $\vecb=\overrightarrowC B$ и $\veca=\overrightarrowC A.$ Тогда

$\overrightarrowN K=C \overrightarrowC K минус C \overrightarrowN N= дробь: числитель: \veca плюс \vecb, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: \veca, знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: \veca плюс 2 \vecb, знаменатель: 4 конец дроби ,$

$B \vecM=C \vecM минус \overrightarrowC B= дробь: числитель: \veca, знаменатель: 2 конец дроби минус \vecb ,$

$0=B \vecM умножить на N \overrightarrowK K= дробь: числитель: \veca в квадрате минус 4 \vecb в квадрате , знаменатель: 8 конец дроби ,$

откуда $|\veca|=2|\vecb|,$ то есть $A C: B C=2 .$

Ответ: 2.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Только ответ «нет»  — 0 баллов.

При наличии арифметических ошибок, несущественно влияющих на ход решения  — снимать 1 балл.

Аналоги к заданию № 705: 780 Все

Открытая олимпиада школьников, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Треугольник произвольный, Методы геометрии. Применение векторов и/или координат

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь