Дан параллелограмм ABCD. Окружность 
с радиусом 5 описана вокруг треугольника AMB, где M — точка пересечения диагоналей данного параллелограмма. вторично пересекает луч CB и отрезок AD в точках E и K соответственно. Длина дуги AE в два раза больше длины дуги BM (дуги AE и BM не имеют общих точек). Длина отрезка MK равна 6. Найдите длины отрезков AD, BK и периметр треугольника EBM.
Обозначим градусные меры дуг BM и AE через 
и 
соответственно. Тогда по теореме о вписанном угле
Значит,
В треугольнике ABC углы при вершинах A и C равны, поэтому треугольник ABC равнобедренный, 
Следовательно, ABCD — ромб. У ромба диагонали взаимно перпендикулярны, значит, угол AMB прямой и AB — диаметр окружности. Значит,
Так как BE и AK — параллельны, получаем, что AEBK — прямоугольник, а значит, EK — также диаметр. Наконец, из параллельности AD и BC имеем
Радиус окружности равен 5, значит, 
(как стороны ромба). Хорды 
и 
равны (т. к. равны соответствующие им дуги), 
Тогда
и из треугольника ABM находим, что
Отсюда
Далее вычисляем:
Так как EK — диаметр, то 
и
Следовательно, периметр треугольника EBM равен
Ответ: 
