Всего: 220 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …
Добавить в вариант
Решите уравнение 
в натуральных числах.
Заметим, что 
при натуральны всегда чётно, поэтому x и y одной чётности. Рассмотрим сначала случай, когда оба эти числа нечётны. В таком случае сумма их квадратов даёт остаток 4 при делении на 
Это значит, что 
то есть 
Если же x и y чётны, то 
и 
делятся на 
Сократим каждое слагаемое на 4, получим уравнением в натуральных числах
Сокращая на 4 мы рано или поздно приходим к первой ситуации, когда x и y нечётны. Значит, общее решение имеет вид 
и 
Ответ: и 
где n — неотрицательное целое число.
и где n — неотрицательное целое число.Решите уравнение 
в натуральных числах.
Заметим, что при натуральны всегда чётно, поэтому x и y одной чётности. Рассмотрим сначала случай, когда оба эти числа нечётны. В таком случае сумма их квадратов даёт остаток 2 при делении на 4. Это значит, что 
то есть 
Если же x и y чётны, то и делятся на 4, откуда делится на Сократим каждое слагаемое на 4, получим уравнением в натуральных числах
Сокращая на 4 мы рано или поздно приходим к первой ситуации, когда x и y нечётны. Значит, общее решение имеет вид 
Ответ: и 
где n — неотрицательное целое число.
и где n — неотрицательное целое число.
Пусть x, y, x и t — неотрицательные числа, такие что 
Докажите, что
Рассмотрим на плоскости следующие точки:
Тогда длина ломаной ABCDEF совпадает с выражением, которое требуется оценить. По неравенству треугольника длина ломаной ABCDEF не меньше длины отрезка AF. С учетом того, что 
координаты точки F 
Решите уравнение:
Докажем сначала следующие формулы по индукции в случае, если 
Первая формула. База 
—
Получаем:
Вторая формула. База 
верное утверждение. Переход: предположим, что утверждение верно для некоторого n, докажем, что оно верно и для Получаем:
Разберём сначала случай 
В этом случае левая часть уравнения превращается в 0, а правая это 1009 или −1009, то есть числа 
при целых k не является решениями задачи. Воспользовавшись доказанными выше формулами, превратим исходное уравнение в
откуда 
или 
В первом случае получаем 
где 
откуда 
где 
При этом, так как 
число k не делится на 1009.
Во втором случае получаем 
где 
откуда 
где Для таких чисел поэтому из этого множеств а решений никакие числа исключать не приходится.
Ответ:
1) 
k не делится на 1009.
2) 
1) k не делится на 1009.
2)
Пусть x, y, x и t — неотрицательные числа, такие что 
Докажите, что
Рассмотрим на плоскости следующие точки:
Тогда длина ломаной ABCDEF совпадает с выражением, которое требуется оценить. По неравенству треугольника длина ломаной ABCDEF не меньше длины отрезка AF. С учетом того, что 
координаты точки F это 
Решите уравнение:
Докажем сначала следующие формулы по индукции в случае, если
Первая формула. База 
— Получаем:
Вторая формула. База 
—
Разберём сначала случай 
В этом случае левая часть уравнения превращается в 0, а правая это 1007 или −1007, то есть числа при целых k не являются решениями за дачи. Воспользовавшись доказанными выше формулами, превратим исходное уравнение в
откуда 
или 
В первом случае получаем 
откуда 
где 
При этом, так как число k не делится на 1007.
Во втором случае получаем 
откуда 
Для таких чисел поэтому из этого множества решений никакие числа исключать не приходится.
Ответ:
1) 
k не делится на 1007;
2) 
1) k не делится на 1007;
2)
Решите уравнение 
где p, q, r — простые числа.
Если все три искомых числа нечётные или нечётное ровно одно из них, то правая и левая части разной чётности. Случай, когда все три числа равны двум, также не подходит. Значит, среди наших чисел ровно одна двойка. Кроме того, 
поэтому двойка это либо r, либо q.
Пусть 
Тогда
Второй множитель очевидно больше первого и ни один из них не равен 1, таким образом 
и 
Данное квадратное уравнение относительно q не имеет натуральных решений.
Bторой случай: 
Тогда
Очевидно, 
не подходит, так что один из множителей в 
это 11, а второй r. У квадратного уравнения 
нет натуральных решений, значит, остаётся вариант 
т. е. 
Отсюда получаем 
Ответ: 
Решите уравнение 
где p, q, r простые числа.
Если все три искомых числа нечётные или нечётное ровно одно из них, то правая и левая части разной чётности. Случай, когда все три числа равны двум, также не подходит. Значит, среди наших чисел ровно одна двойка. Кроме того, поэтому двойка это либо r, либо q.
Пусть Тогда
Второй множитель очевидно больше первого и ни один из них не равен 1, таким образом и 
Данное квадратное уравнение относительно q не имеет натуральных решений.
Второй случай: Тогда
Очевидно, не подходит, так что один из множителей в это 5, а второй r. квадратного уравнения 
нет натуральных решений, Значит, остаётся вари ант 
т. е. 
Отсюда получаем 
Ответ: 
Докажите, что уравнение 53x − 16y = 91 не имеет решения в натуральных числах.
Так как 
даёт остаток 79 при делении на 91, а 532 — остаток 
даёт остаток 74 при делении на 91, а 163 — остаток 1. После этого степени зацикливаются.
Значит, равенство возможно только когда x и y делятся на 3, то есть когда в левой части стоит разность кубов. Но разность кубов
а второй множитель в этой формуле будет хотя бы
Значит, решений действительно нет.
Замечание. Задачу также можно решить рассмотрением остатков при делении на делители 91, то есть 13 и 7, однако одного делителя недостаточно, надо рассматривать оба.
Найдите суммарную длину промежутков на числовой оси, на которых выполняются неравенства 
и 
Заметим, что нас интересуют только положительные x. Если 
значит, 
для какого-то целого k, то есть 
Так как 
нас интересуют только неположительные k. Обозначим 
Число n принимает неотрицательные значения, тогда длина промежутка отрицательности нашей функции, имеющего номер n при нумерации с левой стороны (нумерация начинается с 0), равна
Следовательно, длины всех промежутков составляют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со 
Ответ: 
Докажите, что уравнение 22x − 79y = 91 не имеет решения в натуральных числах.
Число 
даёт остаток 29 при делении на 91, а 
—
даёт остаток 53 при делении на 91, 
—
Значит, равенство возможно только когда x и y делятся на 3, то есть когда в левой части стоит разность кубов. Но разность кубов
а второй множитель в этой формуле будет хотя бы
Значит, решений действительно нет.
Замечание. Задачу также можно решить рассмотрением остатков при делении на делители 91, то есть 13 и 7. однако одного делителя недостаточно, надо рассматривать оба.
Докажите, что для положительных x, y, z выполняется следующее неравенство:
Рассмотрим первые две скобки и заметим, что
Тогда мы можем переписать требуемое неравенство в виде
Теперь зафиксируем z и 
и будем сдвигать 
и y друг к другу. При этом 
увеличивается, и достигает максимума 
т. е.
Обозначим 
тогда неравенство превращается в
Взяв производную, можно убедиться, что минимум левой части достигается при 
и равен 0 , что доказывает требуемое неравенство. Таким образом, минимум исходного выражения достигается при 
Докажите, что для положительных x, y, z выполняется следующее неравенство:
Рассмотрим первые две скобки и заметим, что
Тогда мы можем переписать требуемое неравенство в виде
Теперь зафиксируем z и 
и будем сдвигать x и 
друг к другу. При этом увеличивается, и достигает максимума при 
остальные части выражения остаются постоянными. Значит, требуемое равенство будет следовать из неравенства, полученного подстановкой в него 
т. е.
Обозначим 
тогда неравенство превращается в
Взяв производную, можно убедиться, что минимум левой части достигается при 
и равен 0, что доказывает требуемое неравенство. Таким образом, минимум и сходного выражения достигается при 
а) Решите уравнение 
б) Изобразите на плоскости множество точек, координаты 
которых удовлетворяют неравенству 
в) Докажите, что функция 
непериодична.
г) Найдите все такие a, что при любом b уравнение 
имеет решение.
а) Сделав замену 
получим 
Ответ: 10; 100.
б) См. рисунок.
в) Данная функция имеет непрерывную производную, которая была бы ограниченной, если бы f (а значит, и 
) являлась периодической функцией. Однако ясно, что 
не ограничена, поскольку
Другой подход: 
если 
Попробуйте доказать, что множество 
не переходит в себя ни при каком сдвиге 
числовой прямой.
г) Геометрическая идея: прямая
пересечет график функции 
при любом b в том и только том случае, если она идет круче, чем этот график (см. рисунок).
Ответ: 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Найдите уравнения тех касательных к графику функции 
которые проходят через начало координат.
б) При каких a уравнение 
имеет решения?
в) Сколько решений имеет уравнение 
?
г) Сколько рациональных решений имеет уравнение пункта в)?
а) Вычисление стандартно.
Ответ: 
б) Запишем уравнение в виде
и исследуем функцию 
при 
при 
при 
Ответ ясен из приведенного на рисунке графика.
Ответ: 
в) Эта задача характерна тем, что бездумное использование графической интерпретации может привести к ошибке. На рисунке показаны эскизы графиков при не очень больших значениях аргумента. Ясно, что эти графики имеют одну точку пересечения с отрицательной абсциссой (монотонность и непрерывность), но не совсем понятно, что происходит на
Это уравнение имеет очевидное решение 
и, как следует из рисунке, существует и еще одно его решение на интервале 
Ответ: три решения.
г) Так как при нецелых x число 6x иррационально, то среди натуральных чисел решением может быть только 
(см. решение предыдущего пункта), которое таковым не является.
Ответ: одно рациональное решение 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
три решения. одно рациональное решение а) Найдите уравнения тех касательных к графику функции 
которые проходят через начало координат.
б) При каких a уравнение 
имеет решения?
в) Сколько решений имеет уравнение 
г) Сколько рациональных решений имеет уравнение пункта в?
а) Поскольку 
касательная в точке 
имеет уравнение 
то есть 
Если эта прямая проходит через начало координат, то 
откуда 
и уравнение касательной имеет вид 
Ответ: 
б) Если 
то 
—
поэтому графики 
и обязательно пересекутся где-то в области 
Если 
то корней очевидно нет. Пусть теперь 
Функция является выпуклой вниз (ее вторая производная 
), поэтому прямые, проходящие ниже касательной при положительных x не будут пересекать ее график, а проходящие выше касательной — будут (см. рис.). При 
имеем 
поэтому там пересечений не будет. Окончательно 
Ответ: 
в) Запишем уравнение в виде 
Ясно, что 
не было корнем исходного уравнения. Тогда
Исследуем теперь функцию в левой части. При 
она примет вид 
поэтому
что положительно при 
и отрицательно при 
значит, эта функция возрастает при 
и убывает 
(мы использовали правило Лопиталя) и
Итак, функция принимает все значения из промежутка 
при и принимает все значения из промежутка 
при 
В частности 
поэтому такое значение при положительных x функция принимает дважды. Если же
то 
то есть функция 
нечетна. Значит, она при принимает значение 
столько же раз, сколько при принимает значение 
Это, очевидно, происходит один раз. Итого имеется три корня уравнения — по одному на промежутках 
Ответ: три решения.
г) Пусть 
—
Имеем 
отсюда ясно, что 
тогда 
Если 
то в левой части записано целое число, тогда в правой тоже должно быть целое число. Однако при возведении несократимой дроби в степень она не может стать сократимой, поэтому знаменатель ее будет равен 
а должен быть единицей, откуда 
и 
—
то аналогично можно записать уравнение в виде 
откуда ясно, что 
(а значит 
).
Итак, либо x натуральное число, либо 
где b — натуральное. Ясно что 
подходит в уравнение. Это корень, лежавший на 
На 
есть всего два натуральных числа 
и 
они корнями не являются.
Наконец пусть 
и уравнение 
принимает вид 
что невозможно, поскольку 
тоже иррациональный. Итого один рациональный корень.
Ответ: одно решение 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
три решения. одно решение а) Найдите наименьшее положительное решение уравнения 
б) Найдите число решений уравнения 
в) Докажите, что уравнение 
имеет ровно два решения.
г) Найдите наибольшее по абсолютной величине значение выражения 
при 
а) Замена 
приводит к уравнению 
откуда 
Корнями последнего уравнения являются числа 2 и 
Поскольку функция 
возрастающая, а 
то отсюда и следует ответ.
Ответ: 
б) Два решения при 
одно — при 
(см. рис.).
в) Так как
то графики правой и левой частей данного уравнения выглядят так, как показано на рисунке. Строгое доказательство приведено в Дополнении.
Ответ: два корня.
г) Если 
тогда 
отсюда
Ответ: 576.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
два корня. 576.а) Найдите наименьшее положительное решение уравнения 
б) Найдите число решений уравнения 
в) Докажите, что уравнение 
имеет ровно два решения.
г) Докажите, что выражение 
принимает любое действительное значение тогда и только тогда, когда только одно из чисел a, b лежит между c и d.
а) Обозначим 
тогда
и 
Уравнение примет вид
У многочлена в левой части есть корень 
поэтому многочлен в левой части раскладывается на множители, один из которых равен 
Выделим его 
Значит, либо 
либо 
Ясно, что каждое свое положительное значение 
впервые при положительном x принимает на 
— возрастающая функция). Докажем, что
что очевидно, на самом деле 
Значит, наименьший положительный корень уравнения 
Ответ: 
б) Запишем уравнение в виде 
и изобразим графики обеих частей.
Правая часть дает график, похожий на 
только отраженный относительно вертикальной оси, сдвинутый вправо на 5 и вниз на −2.
Левая часть дает прямую, проходящую через начало координат. При 
очевидно есть одна общая точка, как и при 
При уменьшение a поворачивает прямую вокруг начала координат. При 
будет два корня — один при отрицательных x, второй при положительных.
При дальнейшем уменьшении a отрицательный корень будет всегда, а положительный исчезнет после того, как прямая пройдет через начальную точку графика 
и 
Это случится когда 
или 
Итак, получаем ответ. При 
—
Ответ: два решения при 
одно — при 
в) Перепишем уравнение в виде 
Заметим, что при 
левая часть равна
при 
левая часть равна
при левая часть равна 
Отсюда по непрерывности 
и 
есть корни. Итак, корней не менее двух.
Докажем, что корней не больше двух. Как известно, между двумя корнями непрерывно дифференцируемой функции всегда есть корень ее производной (это следствие теоремы Ролля), поэтому если корней больше двух, то у производной больше одного корня. Но производная равна
Итак, требуется найти условие, при котором для любого числа α существует решение квадратного уравнения
или
(случай 
следует рассмотреть отдельно). Преобразуем дискриминант этого квадратного уравнения:
Положим для краткости
и
Тогда
и 
Квадратное уравнение (относительно x) имеет решение тогда и только тогда, когда при всех α верно неравенство 
для чего необходимо и достаточно, чтобы дискриминант квадратичного относительно α выражения 
был не положителен. Проделанные вычисления показывают, что последний дискриминант равен
Для завершения доказательства осталось проверить, что неравенство
имеет место, когда одно из чисел a, b лежит между c и d.
г) Будем считать, что 
По условию, уравнение 
должно быть разрешимо для любого k. Преобразуем это уравнение 
получим 
При 
уравнение сводится к 
то есть к 
Это уравнение имеет корни всегда, кроме возможно случая, когда 
что невозможно, если ровно одно из чисел a и b лежит между c и d (например, если 
то 
аналогично разбираются и другие варианты), а мы ниже установим, что это условие выполнено.
При прочих k получаем квадратное уравнение
Его дискриминант должен быть неотрицателен. Вычислим его:
Для того, чтобы это выражение было всегда неотрицательно (теоретически кроме 
но если квадратный трехчлен неотрицателен везде, кроме одной точки, то он неотрицателен и в ней), необходимо и достаточно чтобы старший коэффициент этого квадратного трехчлена от k был положителен (это так) и его дискриминант был не положителен. Вычислим его:
Равенство нулю невозможно, поскольку a, b, c, d различны. Значит, на самом деле это выражение меньше нуля, откуда 
и 
имеют различные знаки. Но выражение 
отрицательно при 
и отрицательно при 
и 
значит, одно из чисел a и b лежит между c и d, а другое не лежит.
Обратно. Пусть числа расположены именно так. Тогда 
поэтому дискриминант трехчлена
не положителен, поэтому его значения всегда неотрицательны и трехчлен
всегда имеет корни, кроме того при уравнение 
разрешимо. Значит, функция действительно принимает все значения.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
два решения при одно — при а) Решите уравнение 
б) Докажите, что если все ненулевые коэффициенты некоторого многочлена равны 
то все его корни по модулю меньше двух.
в) Известно, что 
и 
Докажите, что 
а)Очевидно при левая часть положительна, а правая отрицательна, поэтому отрицательных корней быть не может. При положительных x поделим уравнение на 
Получим
В левой части сумма k выражений вида 
что при положительных a не меньше двух:
причем равенство достигается только при 
Поэтому сумма k таких выражений не меньше 
и равенство достигается только при 
Перепишите уравнение в виде 
Ответ:
б) Докажите, что если все ненулевые коэффициенты некоторого многочлена равны то все его корни по модулю меньше двух.
Запишем многочлен в виде 
(если старший коэффициент равен −1, домножим его на −1 от этого его корни не изменятся.
Пусть a его корень, 
Тогда 
но
Противоречие. Докажите, что если 
то 
в) В силу обобщенных формул Виета, из данных уравнений следует, что числа 
суть корни кубического многочлена 
Постройте обычным способом график кубической функции 
взгляните на полученный рисунок и ... решение закончено!
Известно, что и Докажите, что Рассмотрим кубический многочлен
Он имеет корни 
Обозначив 
получим, что уравнение 
имеет три корня. Выясним для начала, когда это возможно.
Пусть 
тогда
поэтому возрастает при 
убывает при 
и возрастает при 
При этом 
и 
поэтому уравнение 
имеет три корня тогда и только тогда, когда 
Далее, 
и 
поэтому прямая 
пересекает график функции 
на промежутке 
при 
а на промежутке 
при 
Отсюда и получаем, что 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Найдите все целые k, при которых разрешимо уравнение
б) Найдите все целые решения уравнения 
в) Найдите все натуральные решения уравнения
а) Не следует пугаться присутствующих в условии обратных тригонометрических функций. Поскольку 
то после замены 
получим уравнение 
Полученное уравнение разрешимо, если число 
входит в множество значений функции 
Для его нахождения можно стандартным образом исследовать функцию при помощи производной, а можно воспользоваться оценками
(заметим, что эти неравенства обращаются в равенства, соответственно, при 
или 
и 
). Следовательно, множеством значений функции f является отрезок 
Значит, решение исходного уравнения существует тогда и только тогда, когда 
откуда и получаем ответ.
Ответ: 
б) Из равенства 
получаем, что 
откуда следует, что число 
должно быть полным квадратом, 
Аналогично, 
причем 
Ответ: 
в) Докажите вначале следующее утверждение.
Лемма. Если 
и 
то 
Ответ: 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Наверх