Всего: 220 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 | 121–140 …
Добавить в вариант
Найти сумму квадратов корней уравнения:
Сделаем замену: 
тогда 
и уравнение примет вид:
Дискриминант уравнения больше нуля, следовательно, уравнение имеет два корня. По теореме Виета: 
Ответ: 3232.
| Баллы | |
|---|---|
| 15 | Обоснованное и грамотно выполненное решение задачи. |
| 12 | При верном и обоснованном ходе решения имеется арифметическая ошибка в конце решения или решение недостаточно обосновано. |
| 6 | Верно начато решение задачи, доказано, что уравнение имеет четыре корня, дальнейшее решение отсутствует. |
| 0 | Решение не соответствует вышеперечисленным требованиям. |
Решите уравнение
Умножим все на 2 и перепишем равенство в виде
или
Докажем вспомогательное неравенство:
причем равенство имеет место только при 
Действительно, оно равносильно неравенству
или
Последнее неравенство в свою очередь есть сумма трех неравенств Коши:
Причем для выполнения равенства необходимо, чтобы 
и 
Заметим, что по доказанному неравенству
так как 
Кроме того, ясно, что
Следовательно, исходное равенство может иметь место только при 
и 
(именно в таком порядке, чтоб сумма равнялась 1). Решая эту систему, находим 
и 
Ответ: 
Найдите пару натуральных чисел x и y таких, что 
Преобразуем часть исходного выражения:
и 
следовательно,
Ответ: (4397; 344).
Приведем другое решение.
Разберем правую часть исходного выражения:
Тогда
Пусть
и 
откуда
Ответ: (256; 4403), (4403; 256).
Приведем еще одно решение.
Методом подбора найдем необходимые пары чисел. Знаем, что
и
Значит,
 |  |
 |  |
 |  |
 |  |
 |  |
 |  |
 |  |
 |  |
Тогда
Замечание:
Итого:
Решите уравнение:
Составим систему:
Преобразуем уравнение:
Пусть
Тогда
откуда следует, что
значит, 
Получаем 
где 
или 
Значит, 
откуда 
при 
cледовательно,
Итого
где видим, что 
следовательно,
Ответ: 
Известно, что 
и
Найдите 
Прибавим по единице к каждой дроби, получим
Ответ: 60.
Решить уравнение
В ответ записать наибольший корень уравнения. Если полученный результат не является целым числом, округлить его до трёх значащих цифр по правилам округления.
В левой части уравнения находится целое число дробей, числители которых представляют из себя арифметическую прогрессию и убывают от числа 
до числа 3 с разностью −1. Посчитаем количество дробей: 
получаем, что количество дробей 
Сумма числителей равна сумме n первых членов арифметической прогрессии:
Тогда уравнение принимает вид:
решая его, получаем, что 
Ответ: 15.
Решите уравнение
Здесь {x} — дробная часть числа x, т. е. 
В ответ запишите сумму всех решений.
Уравнение равносильно следующему 
где 
и 
при 
имеем 
Подставляем в двойное неравенство
получаем 
Следовательно, 
и 
Ответ: 0,75.
Пусть x, y, z — корни уравнения 
Найти 
Приведем искомое выражение к общему знаменателю:
Многочлен имеет 3 разных действительных корня, т. к. 
По теореме Виета 
и
Тогда
Ответ: 77.
Решите уравнение
В ответ напишите сумму квадратов всевозможных попарных разностей действительных корней уравнения. Числа a, b, c > 0.
Преобразуем наше уравнение и сделаем замену 
Заметим, что если t — корень уравнения, то и (−t) — корень. Поэтому достаточно найти все неотрицательные корни. Далее будем считать, что 
C ростом t функции 
и 
убывают, 
—
—
Найдем ответ на задачу
Ответ: 4с.
Сколько решений в целых числах х, у имеет уравнение 
Заметим, что для любых целых чисел a, b система уравнений
имеет целочисленное решение
причем разным упорядоченным парам (a, b) соответствуют различные решения (x,–y). Поэтому для любого натурального n от 1 до 99 взяв в качестве a, b числа вида 
получим 
решений. Кроме того, будет два решения, соответствующих числам 
и, аналогично, будет еще два решения, соответствующих числам 
Итого 400 решений.
Ответ: 400.
| Символы-Баллы | Правильность (ошибочность) решения |
|---|---|
| +20 | Полное верное решение |
| +.16 | Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение |
| ±12 | Решение в целом верное, но содержит ошибки, либо пропущены случаи, не влияющие на логику рассуждений |
| +/2 10 | Верно рассмотрен один (более сложный) из существенных случаев, верно получена основная оценка |
| ∓8 | Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи |
| −.4 | Рассмотрены только отдельные важные случаи или имеются начальные продвижения |
| −0 | Решение неверное, продвижения отсутствуют |
| 0 | Решение отсутствует (участник не приступал) |
Если в задаче два пункта, то только за один решенный пункт максимальная оценка 10 баллов, а другие (промежуточные) оценки соответствуют половинкам баллов приведенной таблицы. Рекомендуется сначала оценивать задачу в символах («плюс-минусах»); при необходимости оценку в символах можно дополнить значком–стрелкой вверх или вниз, что скорректирует соответствующую оценку на один балл. Например, символ ±↑ будет соответствовать 13 баллам.
Решите систему уравнений:
(Р. Алишев)
Рассмотрим функцию
Она приводится к виду
Очевидно, что 
и равенство достигается только в точке 
Если сложим левые и правые стороны нашей системы, то получим уравнение
которая имеет решение только при 
Ответ: 
Пусть x0 — положительный корень уравнения 
а y0 — положительный корень уравнения 
а) Сравните x0 и y0.
б) Найдите десятый знак после запятой числа 
Для краткости обозначим степень 2017 через n.
а) Заметим, что 
так как 
Аналогично, поскольку x0 удовлетворяет уравнению 
то и 
Следовательно, 
так как это неравенство равносильно неравенству 
которое выполнено при 
Тогда
Поскольку функция 
строго возрастает при 
(так как при этих t имеем 
получаем 
б) Проверим, что 
Действительно,
при 
(через 
обозначены остальные слагаемые биномиального разложения), а значит, в силу возрастания при функции 
справедливо неравенство
Далее, вычтем из равенства 
равенство 
Получим
Поскольку
справедливы неравенства
Таким образом,
а значит, первые 10 знаков после запятой разности 
равны нулю.
Ответ: a) 
Докажите, что для любого натурального числа 
и для любых действительных чисел a1, 
уравнение
имеет хотя бы один действительный корень.
Левая часть f(x) в этом уравнении представляет собой многочлен степени 
так как коэффициент при 
равен 
Если n четно, то получаем многочлен нечетной степени, он всегда имеет действительный корень, так как функция f(x) непрерывна и 
при достаточно большом 
Пусть n нечетно. Можно считать, что все числа 
где 
является корнем), не равны нулю (если 
при некотором i, то и 
и упорядочены по возрастанию: 
Заметим, что
имеет тот же знак, что и 
Но при среди чисел 
есть хотя бы одна пара соседних, имеющих одинаковый знак. Тогда значения в этих точках разного знака, поэтому между ними есть корень многочлена 
Приведем другое решение.
Положим
и
Если среди чисел a1, 
и утверждение задачи доказано. Пусть теперь среди этих чисел нет нулевых. Тогда 
и
Значит, 
тогда и только тогда, когда 
Имеем
где
Следовательно,
и тогда и только тогда, когда 
Если 
то 
и утверждение задачи доказано. Иначе
и, следовательно, между 
и 
лежит корень производной многочлена Q(t) (так как на интервале 
найдется либо точка минимума, либо точка максимума Q(t)). Значит, уравнение 
имеет действительный корень t0. Поскольку
имеем 
Следовательно, уравнение имеет действительный корень 
Что и требовалось доказать.
Решите уравнение
где [a] обозначает наибольшее целое число, не превосходящее a.
Правая часть уравнения имеет смысл при 
Пусть 
где n — неотрицательное целое число. Тогда 
Но поскольку также имеем 
получаем 
Следовательно, при 
правая часть уравнения тождественно равна нулю. Значит, решениями будут все неотрицательные целые значения x.
Ответ: x — любое целое неотрицательное число.
При каких значениях параметра a уравнение 
имеет три различных действительных корня, образующих геометрическую прогрессию?
Пусть параметр a подходит. Тогда у многочлена 
есть три различных корня x1, x2, x3. Воспользуемся теоремой Виета для многочлена третьей степени:
Поскольку x1, x2, x3, образуют геометрическую прогрессию (пусть именно в таком порядке), то найдутся такие b и q, что 
Тогда из равенства 
имеем 
откуда 
Тогда
после преобразований 
Дискриминант этого выражения равен 
поэтому такое q, а с ним и x1, x2, x3, найдутся. Тогда
В предпоследнем переходе мы воспользовались равенством (*).
Ответ: только 22.
Комментарий.
Естественно, q, x1, x2, x3 можно вычислить явно:
Выберем q с «+» если выбрать с «−», то x1 и x3 поменяются местами, что не повлияет на ответ): тогда
Можно было вычислить a, подставив полученные числа в выражение 
| Критерии оценивания | Балл |
|---|---|
| Верное решение без существенных недочетов | + |
| В целом задача решена, хотя и с недочетами | + − |
| Задача не решена, но есть заметное продвижение | − + |
| Задача не решена, заметных продвижений нет | − |
| Задача не решалась | 0 |
При каких значениях параметра a уравнение 
имеет три различных действительных корня, образующих геометрическую прогрессию?
Пусть параметр a подходит. Тогда у многочлена есть три различных корня x1, x2, x3. Воспользуемся теоремой Виета для многочлена третьей степени:
Поскольку x1, x2, x3, образуют геометрическую прогрессию (пусть именно в таком порядке), то найдутся такие b и q, что Тогда из равенства 
имеем 
откуда 
Тогда
после преобразований 
Дискриминант этого выражения равен 
поэтому такое q, а с ним и x1, x2, x3, найдутся. Тогда
В предпоследнем переходе мы воспользовались равенством (*).
Ответ: только 42.
Комментарий.
Естественно, q, x1, x2, x3 можно вычислить явно:
Выберем q с «+» если выбрать с «−», то x1 и x3 поменяются местами, что не повлияет на ответ): тогда
Можно было вычислить a, подставив полученные числа в выражение
| Критерии оценивания | Балл |
|---|---|
| Верное решение без существенных недочетов | + |
| В целом задача решена, хотя и с недочетами | + − |
| Задача не решена, но есть заметное продвижение | − + |
| Задача не решена, заметных продвижений нет | − |
| Задача не решалась | 0 |
Про натуральные числа x и y и целое нечетное число z известно, что x! + y! = 24z + 2017. Найдите все возможные такие тройки чисел 
Выражение 
должно быть нечетным числом, поэтому 
или 
Пусть 
тогда 
или 
Так как 
то y! делится на 24, отсюда 
Если же 
то y! делится на 48 и 
В этом случае z будет четным, что противоречит условию задачи. Значит, 
или 5.
Ответ: (1; 4; −83), (4; 1; −83), (1; 5; −79), (5; 1; −79).
Общие критерии оценивания
По результатам проверки каждого задания выставляется одна из следующих оценок:
а) «+», «±» — задача скорее решена;
б) «∓», «−» — задача скорее не решена;
в) за задачу, к решению которой участник не приступал, ставится оценка «0».
При подведении итогов учитывается только количество в целом решенных задач - задач, за которые поставлена оценка «+» или «±».
Оценки по задачам имеются в таблице в личном кабинете участника. Оценки внутри работы и на титульном листе работы выставлены в процессе предварительной проверки и не являются основанием для апелляции.
Приведённые далее критерии описывают оценки продвижений и ошибок, встречающихся во многих работах. Поэтому они не подлежат изменению и могут быть использованы для апелляции только в случае, если вы укажете, что какое-то место в вашей работе, подходящее под один из этих критериев, оценено не в соответствии с ним.
Комментарий по оцениванию данной задачи
Приведены только примеры без доказательства, что других нет — не выше «∓».
При рассмотрении случая x = 1 в решении отсутствует доказательство того, что при достаточно больших значениях y число z будет четным — не выше «∓».
В ответе есть лишние тройки — не выше «∓».
Рассмотрено конечное число частных случаев — не выше «∓».
Полностью рассмотрен только случай x = 1, случай y = 1 утерян — не выше «±».
При рассмотрении случая x = 1 найдены не все возможные случаи y — не выше «∓».
В найденных тройках из-за арифметических ошибок неверно посчитан z — при отсутствии других ошибок «±».
Задача решена в предположении 
— не выше «∓».
Про натуральные числа x и y и целое нечетное число z известно, что x! + y! = 48z + 2017. Найдите все возможные такие тройки чисел
Выражение 
должно быть нечетным числом, поэтому или Пусть тогда 
или 
Так как 
то y! делится на 48, отсюда 
Если же 
то y! делится на 96 и 
В этом случае z будет четным, что противоречит условию задачи. Значит, 
или 7.
Ответ: (1; 6; −27), (6; 1; −27), (1; 7; 63), (7; 1; 63).
Общие критерии оценивания
По результатам проверки каждого задания выставляется одна из следующих оценок:
а) «+», «±» — задача скорее решена;
б) «∓», «−» — задача скорее не решена;
в) за задачу, к решению которой участник не приступал, ставится оценка «0».
При подведении итогов учитывается только количество в целом решенных задач - задач, за которые поставлена оценка «+» или «±».
Оценки по задачам имеются в таблице в личном кабинете участника. Оценки внутри работы и на титульном листе работы выставлены в процессе предварительной проверки и не являются основанием для апелляции.
Приведённые далее критерии описывают оценки продвижений и ошибок, встречающихся во многих работах. Поэтому они не подлежат изменению и могут быть использованы для апелляции только в случае, если вы укажете, что какое-то место в вашей работе, подходящее под один из этих критериев, оценено не в соответствии с ним.
Комментарий по оцениванию данной задачи
Приведены только примеры без доказательства, что других нет — не выше «∓».
При рассмотрении случая x = 1 в решении отсутствует доказательство того, что при достаточно больших значениях y число z будет четным — не выше «∓».
В ответе есть лишние тройки — не выше «∓».
Рассмотрено конечное число частных случаев — не выше «∓».
Полностью рассмотрен только случай x = 1, случай y = 1 утерян — не выше «±».
При рассмотрении случая x = 1 найдены не все возможные случаи y — не выше «∓».
В найденных тройках из-за арифметических ошибок неверно посчитан z — при отсутствии других ошибок «±».
Задача решена в предположении — не выше «∓».
Найдите пару положительных рациональных чисел x и y, удовлетворяющих уравнению: 
Преобразуем исходное уравнение:
Тогда 
следовательно,
и 
Ответ: 
Найдите x, если 
Пусть 
где 
тогда уравнение примет вид
При 
получаем равенство 
которое выполняется при 
при 
имеем равенство 
которое выполняется при 
или, с учётом условия случая, при 
Таким образом,
Ответ:
Наверх