Всего: 220 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 …
Добавить в вариант
а) Существует ли геометрическая прогрессия, среди членов которой имеются числа 2, 3 и 5?
б) Решите уравнение 
(здесь 
— это целая часть числа, т. е. наибольшее целое число, его не превосходящее).
в) Найдите количество лежащих на кривой 
точек плоскости, координаты которых суть целые числа.
г) Два шахматиста играют матч до первой победы. Известно, что во встречах друг с другом каждый из них, играя белыми фигурами, побеждает с вероятностью 
а проигрывает с вероятностью 
(тем самым с вероятностью в каждой из партий фиксируется ничья). Если в 40 партиях матча будет зафиксирована ничья, то для определения победителя кидают жребий. Оцените (с разумной точностью) шансы на выигрыш того игрока, с хода которого начнется этот матч.
а) Действительно, если 
и 
то 
т. e. 
что невозможно.
Ответ: Нет, не существует.
б) Так как левая часть уравнения может принимать лишь значения 
то осуществим перебор.
Пусть 
Тогда 
откуда 
Имеем 
так что 
и этот случай невозможен.
Пусть 
или 
В первом случае 
Из 
(
), поэтому число k должно быть четным. Во втором случае, наоборот, n — нечетно. Поэтому 
или 
Пусть 
Таким образом, 
Пусть 
или 
В этом случае 
так что решений нет.
Наконец, пусть 
Тогда 
а число k должно быть четно. Таким образом, 
Ответ: 
в) Имеем: 
Так как числа x + y и x − y, будучи целыми, имеют одинаковую четность, то 
и 
где 
Таким образом, количество решений данного уравнения совпадает с количеством чисел 
Ответ: 24 точки.
г) Вероятность того, что все 40 партий закончатся вничью, равна 
поэтому будем считать, что матч продолжается до первой победы. Вероятность победы игрока, который в первой партии играет белыми фигурами, равна сумме ряда
здесь 
— вероятности его победы при игре белыми, соответственно, черными фигурами, 
— вероятность ничьи.
Другое решение: Искомая вероятность является решением уравнения 
Ответ: шансы первого игрока — 
так как вероятность его победы почти равна 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
24 точки. шансы первого игрока — так как вероятность его победы почти равна 
а) Существует ли геометрическая прогрессия, среди членов которой имеются числа 3, 7 и 10?
б) Решите уравнение 
(здесь — это целая часть числа, т. е. наибольшее целое число, его не превосходящее).
в) Найдите количество лежащих на кривой 
точек плоскости, координаты которых суть целые числа.
г) Два шахматиста играют матч до первой победы. Известно, что во встречах друг с другом каждый из них, играя белыми фигурами, побеждает с вероятностью а проигрывает с вероятностью 
(тем самым с вероятностью 
в каждой из партий фиксируется ничья). Если в 80 партиях матча будет зафиксирована ничья, то для определения победителя кидают жребий. Оцените (с разумной точностью) шансы на выигрыш того игрока, с хода которого начнется этот матч.
а) Существует ли геометрическая прогрессия, среди членов a которой имеются числа 3, 7 и 10?
Допустим, что такая прогрессия есть. Будем считать ее возрастающей (иначе перепишем несколько ее первых членов, среди которых есть 3, 7, 10, в обратном порядке). Пусть ее первый член равен b, а знаменатель равен q, тогда при некоторых 
получим 
причем 
Из первых двух уравнений получаем 
а из последних двух 
Но при возведении рационального числа q (записанного в виде несократимой дроби) в натуральную степень получаются снова несократимые дроби, знаменатели которых — степени изначального знаменателя. А числа 3 и 7 не являются степенями одного и того же натурального числа.
б) Решите уравнение (здесь [.] — это целая часть числа, т. е. наибольшее целое число, его не превосходящее).
Ясно, что 
поскольку 
Поэтому левая часть может принимать только значения −2, −1, 0, 1, 2. Решим все полученные уравнения-следствия, а потом проверим, для каких из их корней целая часть оказывается правильной. Во всех вариантах ниже 
Найдем
Тогда
что равно −2 при выборе знака минус. Значит, нужно, чтобы 
было нечетным или, что то же, k было нечетным, 
тогда
Тогда
или
что равно −2 при выборе знака минус и равно 1 при выборе знака плюс. Значит, получить −1 нельзя и таких решений не будет. Найдем
Тогда
что равно 0 при четных k и равно 
при нечетном k. Значит, нужно, чтобы k было четным 
получим
Тогда
или
что равно 1 при выборе знака плюс. Поэтому надо выбирать нечетные k для первого случая и четные для второго. Найдем
Тогда
что равно −2 при выборе знака минуса равно 1 при выборе знака плюс . Значит, получить 2 нельзя и таких решений не будет.
Окончательно
в) Найдите количество лежащих на кривой точек плоскости, координаты которых суть целые числа.
Запишем уравнение в виде 
откуда видно, что 
и 
—
что четно, поэтому и сами они оба четны (или оба нечетны, но тогда и их произведение было бы нечетно). Обозначая 
и 
получим 
причем по любым целым a и b можно однозначно построить 
и 
которые подойдут в изначальное уравнение.
Осталось выяснить, сколько всего целых делителей у числа 
Все они имеют вид 
где 
и l =0, 1, 2, 3, 4, 5, что дает 
варианта для a и каждый из них однозначно определит b.
г) Два шахматиста играют матч до первой победы. Известно, что во встречах друг с другом каждый из них, играя белыми фигурами, побеждает с вероятностью а проигрывает с вероятностью (тем самым с вероятностью в каждой из партий фиксируется ничья). Если в 80 партиях матча будет зафиксирована ничья, то для определения победителя кидают жребий. Оцените (с разумной точностью) шансы на выигрыш того игрока, с хода которого начнется этот матч.
Первый игрок может выиграть в следующих случаях:
1) Выиграть первую партию. Вероятность этого события равна 
2) Сыграть первую партию вничью и выиграть вторую. Вероятность этого события равна 
3) Сыграть вничью первые две партии и выиграть третью. Вероятность этого события равна 
И так далее. Поэтому вероятность его итоговой победы за 80 игр равна
поскольку 
Ответ:
б) 
вероятность его победы почти равна 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б)
вероятность его победы почти равна
Найдите наименьшее натуральное n, удовлетворяющее неравенству
Запишем общий член суммы в виде 
складываются выражения для 
...,
Известно, что сумма кубов чисел от 1 до m равна 
а сумма чисел от 1 до m равна 
Тогда сумма членов вида 
при 
...,
равна
Получаем
Подбором определим наименьшее n.
Ответ: 
При каком наименьшем n неравенство
имеет не менее 2017 решений, кратных 1993?
Пусть 
где 
и 
Тогда
и 
Следовательно,
откуда 
или 
Получаем 
или 
то есть
где N — число целых решений. Итого:
то есть 
Ответ: 6.
Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение 
Если x — четно, то 
а если x — нечетно, то 
Так как
то ровно одно
1) Пусть это нечетно число равно 1, для определенности возьмем 
остальные — четные. Тогда
Имеем: 
Слева сумма остатков при делении на 16 не превышает 12, следовательно, решений нет.
2) Пусть 
тогда придем к уравнению
Значит, ровно 
нечетны, а 3 — четны. Четные yk не могут быть больше 2, так как 
Значит, они равны по 2:
Нечетные yk не могут быть больше 1, так как 
значит, все они равны 1. Но 
следовательно, решений нет.
3) Пусть 
тогда:
Значит, ровно 7 нечетных, 5 — четных, следовательно,
и перестановки этих чисел.
Ответ: 
Найдите все точки плоскости (x, y) координаты которых удовлетворяют соотношению
Поскольку
и
то рассмотрев все участки, получим для первого соотношения:
и для второго соотношения:
Эти два набора точек пересекаются в двух местах: в квадрате, где 
и 
получаем систему
Вторая точка пересечения при 
определяется решением системы
Эти системы приводят к уравнениям 4 порядка, которые можно решить методом Кардано.
Сколько существует несократимых дробей со знаменателем 218, удовлетворяющих неравенству 
?
Преобразуем неравенство:
Первый множитель всегда положителен. Поэтому неравенство сводится к 
отсюда 
Найдем число несократимых дробей со знаменателем 218, удовлетворяющих неравенству. Рассмотрим положительные m:
Так как 
то 
поэтому m может принимать значения от 1 до 377 включительно. Исключим те значения, при которых дробь сокращается. Так как 
то исключаем все четные числа: 
и нечетные, кратные 109: 
Тогда получаем 
положительных дробей. Для отрицательных m решение аналогично. Итого 187 положительных и 187 отрицательных дробей.
Ответ: 187 положительных и 187 отрицательных дробей. Всего 374.
Докажите, что квадратное уравнение 
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1], если числа a, b и c выражают длины сторон некоторого треугольника.
Графиком данного уравнения является парабола, ветви которой направлены вверх. Далее, поскольку сумма двух сторон треугольника больше третьей, получаем:
Функция f(x) непрерывна и принимает на концах отрезка [0; 1] значения разных знаков, то есть на этом отрезке есть точки, в которых 
то есть корни рассматриваемого уравнения. По теореме Виета находим, что произведение корней уравнения должно быть отрицательно: 
То есть один корень положительный, а другой отрицательный. Поскольку мы знаем, что положительный корень только один, то на отрезке [0; 1] наше уравнение имеет ровно один корень.
Решите уравнение
Запишем систему
Тогда
a) 
б) 
при 
Ответ: 
Cсылка на сайт олимпиады: http://www.pdmi.ras.ru/~olymp/index.html
Какое наибольшее количество решений может иметь уравнение
В качестве примера подойдут, например, 5 функций 
и 5 функций 
Предположим, что это уравнение имеет три корня: 
В точке v одна из линейных функций 
равна нулю. С другой стороны, ее значения в точках u и w не превосходят нуля. Но такая линейная функция может быть лишь константой, что запрещено условием.
Ответ: 2 решения.
Найдите решение системы
Рассмотрим систему с такими же коэффициентами, но без степеней. Сложим первое уравнение с четвертым, а второе — с третьим.
Откуда 
и 
Подставляя в предыдущую систему, имеем
Следовательно, 
и 
далее, 
и 
Теперь, чтобы получить «настоящее» решение, остается вычислить корни соответствующих степеней из найденных величин.
Ответ: 
1. Проверку и оценивание работ проводит Жюри Олимпиады.
2. Задача оценивается по
| Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
|---|---|---|
| Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
| Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
| Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
| Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
| Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
| Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
| Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
| Задача не решилась | 0 | 0 |
Недочеты — незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки.
Негрубые ошибки — технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов.
Грубые ошибки.
I. Логические, приводящие к неверному заключению.
II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа.
III. Неверный чертеж в геометрических задачах.
IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем.
3. Решение, приведенное в черновике или выполненное карандашом, не проверяется и не оценивается.
4. По окончании проверки подсчитывается суммарная оценка работы как сумма оценок за задачи 1−5 с весом 2.
5. Суммарная оценка проставляется на работу и подтверждается подписью члена Жюри.
Усеченной разностью чисел x и y называется операция 
результат которой равен обычной разности если 
и нулю, если 
Решите систему уравнений:
Первое уравнение системы эквивалентно неравенству 
Выразим из второго уравнения 
и подставим в неравенство. Тогда
Таким образом, система имеет бесконечное количество решений, лежащих на луче
Если решать начальное неравенство относительно y, то получится альтернативная запись ответа
Ответ: 
1. Проверку и оценивание работ проводит Жюри Олимпиады.
2. Задача оценивается по
| Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
|---|---|---|
| Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
| Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
| Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
| Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
| Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
| Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
| Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
| Задача не решилась | 0 | 0 |
Недочеты — незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки.
Негрубые ошибки — технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов.
Грубые ошибки.
I. Логические, приводящие к неверному заключению.
II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа.
III. Неверный чертеж в геометрических задачах.
IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем.
3. Решение, приведенное в черновике или выполненное карандашом, не проверяется и не оценивается.
4. По окончании проверки подсчитывается суммарная оценка работы как сумма оценок за задачи 1−5 с весом 2.
5. Суммарная оценка проставляется на работу и подтверждается подписью члена Жюри.
Усеченной разностью чисел x и y называется операция результат которой равен обычной разности если и нулю, если Решите систему уравнений:
Первое уравнение системы эквивалентно неравенству 
Выразим y из второго уравнения 
и подставим в неравенство.
Таким образом, система имеет бесконечное количество решений, лежащих на луче
Если решать начальное неравенство относительно y, то получится альтернативная запись ответа
Ответ: 
1. Проверку и оценивание работ проводит Жюри Олимпиады.
2. Задача оценивается по
| Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
|---|---|---|
| Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
| Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
| Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
| Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
| Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
| Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
| Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
| Задача не решилась | 0 | 0 |
Недочеты — незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки.
Негрубые ошибки — технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов.
Грубые ошибки.
I. Логические, приводящие к неверному заключению.
II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа.
III. Неверный чертеж в геометрических задачах.
IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем.
3. Решение, приведенное в черновике или выполненное карандашом, не проверяется и не оценивается.
4. По окончании проверки подсчитывается суммарная оценка работы как сумма оценок за задачи 1−5 с весом 2.
5. Суммарная оценка проставляется на работу и подтверждается подписью члена Жюри.
Дан квадратный трехчлен p(x) с вещественными коэффициентами. Докажите, что существует такое натуральное число n, что уравнение 
не имеет рациональных решений.
Пусть
Предположим противное. Пусть для каждого натурального n существует такое рациональное число 
для которого 
Ясно, что числа 
различны. Покажем, что числа a, b и c рациональны. Поскольку
рационально при всех различных k и n. Тогда число
также рационально и, значит, a рационально. Стало быть, рационально и число b. Но тогда
также рационально.
Таким образом, можно считать, что трехчлен имеет вид
где a, b и c — целые числа, а d — натуральное. Рассмотрим простое число q, большее и числа d, и числа |a|. Возьмем соответствующее ему рациональное число 
где дробь 
несократима. Тогда
Следовательно,
Поскольку, ds2 делится на простое число q, а 
на число q должно делиться s2, а, значит, и s. Пусть 
тогда
Но это невозможно, поскольку правая часть делится на q, а левая часть не делится, так как a и r не делятся на q. Мы пришли к противоречию.
Решите уравнение 
в котором 
означает целую часть числа x.
Если представить произвольное число x в виде 
где m — целое, 
то 
Тогда исходное уравнение можно переписать в виде
Поскольку то
Рассмотрим функцию 
Это парабола с корнями 0 и 1 и с ветвями, направленными вверх. Поэтому полученное двойное неравенство может выполняться на некотором отрезке, расположенном левее точки 
и на некотором другом отрезке, расположенном правее точки 
Рассмотрим их по очереди.
Пусть 
Легко вычислить (устно), что
Следовательно, искомые 
В этом случае 
и исходное Уравнение принимает вид
Еro решением (отрицательным) является 
При 
аналогично вычисляем (также устно)
Следовательно, искомые 
В этом случае 
и исходное Уравнение принимает вид
Его решением (теперь положительным) является 
Ответ: 
| Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
| Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
|---|---|---|
| Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
| Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
| Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
| Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
| Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
| Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
| Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
| Задача не решилась | 0 | 0 |
| Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. | ||
Найдите все решения уравнения
Уравнение имеет вид
Пусть k — натуральное число, 
Подставим 
в левую часть уравнения, получим
(остальные слагаемые в левой части (1) обращаются в 0). Введем обозначение
где 
Тогда
и 
Докажем, что
Отметим содержательный смысл чисел 
—
Рассмотрим два способа доказательства формулы (2).
I способ — вывести формулу бинома
и из нее получить (2), полагая 
Рассмотрим выражение
Преобразуем это произведение скобок (сумм 
в сумму произведений. Каждое произведение в такой сумме содержит ровно k множителей, из которых ровно j множителей равны t, а остальные 
множителей равны 1, при этом 
Количество слагаемых вида 
есть ровно 
это количество выбрать ровно ј скобок 
из которых в произведение берется в качестве множителя слагаемое t. Таким образом, формула (3) доказана.
Замечание. Во многих школах формулу бинома проходя в 10-м и даже 9-ом классе. Если участник знает ее и использует, вывод не требуется: тот, кто не знает, может быстро ее вывести, как показано здесь, а может быть, другим способом (например, математической индукцией по параметру k).
II способ. При нечетных k в (1) получаем
что доказывает (2) при нечетных k.
Остается обосновать (2) при четных k. Для этого докажем тождество
(с его помощью строится треугольник Паскаля). Рассмотрим 
-элементное множество 
k-элементное множество 
и все 
Разобьем их на две непересекающиеся группы:
1) содержащие 
2) не содержащие 
Сочетания вида 1) — это 
-сочетания
их количество равно 
Сочетания вида 2) есть их число равно 
Количества сочетаний вида 1) и вида 2) в силу непересечения групп дают в сумме Тождество (4) доказано.
Теперь рассмотрим четное k и сумму из левой части (2). Ее представим в виде
После элементарных преобразований останется
то есть (2) верно и при четных k.
Можно даже при втором способе не разделять случаи четного и нечетного k, а вывести (2) индукцией по k.
Таким образом, 
—
Ответ: 
| Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
| Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
|---|---|---|
| Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
| Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
| Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
| Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
| Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
| Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
| Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
| Задача не решилась | 0 | 0 |
| Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. | ||
Имеет ли уравнение
решение в натуральных числах, больших единицы?
Пусть целое 
является решением, обозначим выражение в левой части уравнения как 
Влево й част и при этом ровно 
слагаемых. Каждое слагаемое кроме первого заменим меньшим его положительным числом 
Тогда
Равенство невозможно.
Ответ: решений не имеет.
| Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
| Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
|---|---|---|
| Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
| Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
| Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
| Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
| Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
| Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
| Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
| Задача не решилась | 0 | 0 |
| Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. | ||
Решите уравнение с тремя неизвестными 
в натуральных числах.
а) При 
получим уравнение 
следовательно, 
т. e. 
б) При 
уравнение принимает вид
При 
решений оно не имеет, а подставляя 
получим решения 
и 
соответственно. При 
решений нет, так как в этом случае 
(доказательство по индукции).
в) Остается случай 
При деля обе части данного уравнения на Y, получаем уравнение
которое, очевидно, не имеет натуральных решений. Пусть далее 
Докажем, что для этих 
и 
выполняются неравенства 
и 
Первое неравенство:
Второе неравенство проверяется непосредственно при 
а при 
имеем:
Наконец, применяя неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим убеждаемся, что в рассматриваемом случае левая часть уравнения больше правой, т. е. решений нет:
Ответ: 
Целой частью [x] вещественного числа x называется наибольшее целое M такое, что 
Например, 
Найдите все положительные вещественные числа x, для которых 
Заметим, что при 
в левой части уравнения стоит монотонно неубывающая функция, и что при целых значениях x она равна 
Так как 
то при 
неравенство не выполняется.
Покажем, что оно выполнено при 
Действительно, в этом случае
Ответ:
Найти сумму квадратов уравнения:
Сделаем замену: 
тогда 
и уравнение примет вид:
Дискриминант уравнения больше нуля, следовательно, уравнение имеет два корня. По теореме Виета: 
Тогда
Ответ: 4064.
| Баллы | |
|---|---|
| 15 | Обоснованное и грамотно выполненное решение задачи. |
| 12 | При верном и обоснованном ходе решения имеется арифметическая ошибка в конце решения или решение недостаточно обосновано. |
| 6 | Верно начато решение задачи, доказано, что уравнение имеет четыре корня, дальнейшее решение отсутствует. |
| 0 | Решение не соответствует вышеперечисленным требованиям. |
Наверх