РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1128 Добавить в вариант

При каком наименьшем n неравенство

$x в квадрате плюс x меньше или равно \overline\underbrace11...1_n\underbrace22...2_n$

имеет не менее 2017 решений, кратных 1993?

Спрятать решение

Решение.

Пусть $x в квадрате плюс p x плюс q меньше или равно 0,$ где $p= минус 1$ и $q= минус \overline\underbrace11...1_n\underbrace22...2_n.$ Тогда

$D=p в квадрате минус 4 q=\overline\underbrace44...4_n\underbrace88...8_n минус 19$

и $\underbrace99 \ldots 9_n=10 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка минус 1.$ Следовательно,

$D=\underbrace44 \ldots 4_n умножить на 10 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка плюс \underbrace88 \ldots 8_n плюс 1= дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби левая круглая скобка \underbrace99 \ldots 9_n правая круглая скобка умножить на 10 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 8, знаменатель: 9 конец дроби левая круглая скобка \underbrace99 \ldots 9_n правая круглая скобка плюс 1=$ $= дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби левая круглая скобка 10 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка умножить на 10 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 8, знаменатель: 9 конец дроби левая круглая скобка 10 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка плюс 1= дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби умножить на 10 в степени левая круглая скобка 2 n правая круглая скобка минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби умножить на 10 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка минус дробь: числитель: 8, знаменатель: 9 конец дроби плюс 1= дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби умножить на 10 в степени левая круглая скобка 2 n правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби умножить на 10 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби =$ $= дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби левая круглая скобка левая круглая скобка 2010 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате плюс 2 левая круглая скобка 2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка правая круглая скобка плюс 1 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби умножить на левая круглая скобка 2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка плюс 1 правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка дробь: числитель: 2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка плюс 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка дробь: числитель: 200 \ldots 01, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в квадрате ,$ $= дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби левая круглая скобка левая круглая скобка 2010 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате плюс 2 левая круглая скобка 2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка правая круглая скобка плюс 1 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби умножить на левая круглая скобка 2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка плюс 1 правая круглая скобка в квадрате =$
$= левая круглая скобка дробь: числитель: 2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка плюс 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка дробь: числитель: 200 \ldots 01, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в квадрате ,$

откуда $x_1, 2= дробь: числитель: минус p \pm корень из: начало аргумента: D конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби$ или $x_1, 2= дробь: числитель: 1 \pm 666 \ldots 67, знаменатель: 2 конец дроби .$ Получаем $x_1=\underbrace33 \ldots 34_n$ или $x_2= минус \underbrace33 \ldots 34_n,$ то есть

$x принадлежит левая квадратная скобка минус \underbrace33 \ldots 34_n; \underbrace33 \ldots 34_n правая квадратная скобка , \quad N=\underbrace66 \ldots 68_n,$

где N  — число целых решений. Итого:

$\underbrace66 \ldots 68_n меньше или равно \underbrace1993 умножить на 2017_4 019 781,$

то есть $n=6.$

Ответ: 6.

Межрегиональная олимпиада школьников по математике САММАТ, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Косвенные способы в неравенствах

Спрятать решение · Помощь