РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1122 Добавить в вариант

Найдите наименьшее натуральное n, удовлетворяющее неравенству

$1 умножить на 2 умножить на 3 плюс 2 умножить на 3 умножить на 4 плюс 3 умножить на 4 умножить на 5 плюс ... плюс n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка больше или равно 1993 умножить на 2017.$

Спрятать решение

Решение.

Запишем общий член суммы в виде $левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка k левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка =k в кубе минус k,$ складываются выражения для $k=1,$ ..., $n плюс 1.$ Известно, что сумма кубов чисел от 1 до m равна $левая квадратная скобка дробь: числитель: m левая круглая скобка m плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка в квадрате ,$ а сумма чисел от 1 до m равна $дробь: числитель: m левая круглая скобка m плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби .$ Тогда сумма членов вида $k в кубе минус k$ при $k=1,$ ..., $n плюс 1$ равна

$левая квадратная скобка дробь: числитель: левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка в квадрате минус дробь: числитель: левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: 4 конец дроби умножить на левая круглая скобка n в квадрате плюс 3 n правая круглая скобка = дробь: числитель: n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: 4 конец дроби .$ $левая квадратная скобка дробь: числитель: левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка в квадрате минус дробь: числитель: левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби =$
$= дробь: числитель: левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: 4 конец дроби умножить на левая круглая скобка n в квадрате плюс 3 n правая круглая скобка = дробь: числитель: n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: 4 конец дроби .$ $левая квадратная скобка дробь: числитель: левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка в квадрате минус дробь: числитель: левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби =$
$= дробь: числитель: левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: 4 конец дроби умножить на левая круглая скобка n в квадрате плюс 3 n правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: 4 конец дроби .$

Получаем

$дробь: числитель: n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: 4 конец дроби больше или равно 1993 умножить на 2017=16 079 524.$

Подбором определим наименьшее n.

Ответ: $n=62.$

Межрегиональная олимпиада школьников по математике САММАТ, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Косвенные способы в неравенствах

Спрятать решение · Помощь