сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

а)  Ре­ши­те урав­не­ние 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 де­ся­тич­ный ло­га­рифм x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 в кубе =6x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка де­ся­тич­ный ло­га­рифм 2 пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  Изоб­ра­зи­те на плос­ко­сти мно­же­ство точек, ко­ор­ди­на­ты  левая круг­лая скоб­ка x, y пра­вая круг­лая скоб­ка ко­то­рых удо­вле­тво­ря­ют не­ра­вен­ству  дробь: чис­ли­тель: x плюс 1, зна­ме­на­тель: y конец дроби боль­ше или равно 0.

в)  До­ка­жи­те, что функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка не­пе­ри­о­дич­на.

г)  Най­ди­те все такие a, что при любом b урав­не­ние ax плюс b=|x| имеет ре­ше­ние.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Сде­лав за­ме­ну t=2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка де­ся­тич­ный ло­га­рифм x пра­вая круг­лая скоб­ка =x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка де­ся­тич­ный ло­га­рифм 2 пра­вая круг­лая скоб­ка , по­лу­чим t=2; 4.

 

Ответ: 10; 100.

 

б)  См. ри­су­нок.

в)  Дан­ная функ­ция имеет не­пре­рыв­ную про­из­вод­ную, ко­то­рая была бы огра­ни­чен­ной, если бы f (а зна­чит, и f') яв­ля­лась пе­ри­о­ди­че­ской функ­ци­ей. Од­на­ко ясно, что f' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 2x синус левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка не огра­ни­че­на, по­сколь­ку

f' левая круг­лая скоб­ка минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n конец ар­гу­мен­та \undersetnarrow бес­ко­неч­ность \to бес­ко­неч­ность .

Дру­гой под­ход:  ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =1, если x=\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 Пи k конец ар­гу­мен­та . По­про­буй­те до­ка­зать, что мно­же­ство  левая фи­гур­ная скоб­ка \pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 Пи k конец ар­гу­мен­та \mid k=0, 1, \dots пра­вая фи­гур­ная скоб­ка не пе­ре­хо­дит в себя ни при каком сдви­ге x\mapsto x плюс T чис­ло­вой пря­мой.

г)   Гео­мет­ри­че­ская идея: пря­мая y=ax плюс b пе­ре­се­чет гра­фик функ­ции y=|x| при любом b в том и толь­ко том слу­чае, если она идет круче, чем этот гра­фик (см. ри­су­нок).

 

Ответ: |a| боль­ше 1.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

Мак­си­мум за сюжет 12 бал­лов. При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.