сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Спрятать решение

Ре­ше­ние.

До­ка­жем сна­ча­ла сле­ду­ю­щие фор­му­лы по ин­дук­ции в слу­чае, если  синус x не равно q 0:

 \sum_k=1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n пра­вая круг­лая скоб­ка синус левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: синус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка n x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: синус x конец дроби ,

 \sum_k=1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: синус левая круг­лая скоб­ка 2 n x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 синус x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: синус левая круг­лая скоб­ка n x пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка n x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: синус x конец дроби }.

Пер­вая фор­му­ла. База n=1:  синус x= дробь: чис­ли­тель: синус в квад­ра­те x, зна­ме­на­тель: синус x конец дроби   — вер­ное утвер­жде­ние. Пе­ре­ход: пред­по­ло­жим, что утвер­жде­ние верно для не­ко­то­ро­го n, до­ка­жем, что оно верно и для n плюс 1. По­лу­ча­ем:

\sum_k=1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка синус левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =\sum_k=1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n пра­вая круг­лая скоб­ка синус левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс синус левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: синус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка n x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: синус x конец дроби плюс синус левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =
= дробь: чис­ли­тель: синус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка n x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс синус левая круг­лая скоб­ка 2 n x плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка синус x, зна­ме­на­тель: синус x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: синус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка n x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс синус левая круг­лая скоб­ка 2 n x пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x синус x плюс ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 2 n x пра­вая круг­лая скоб­ка синус в квад­ра­те x, зна­ме­на­тель: синус x конец дроби =
= дробь: чис­ли­тель: синус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка n x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 синус левая круг­лая скоб­ка n x пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка n x пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x синус x плюс левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка n x пра­вая круг­лая скоб­ка минус синус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка n x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка синус в квад­ра­те x, зна­ме­на­тель: синус x конец дроби =
= дробь: чис­ли­тель: синус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка n x пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус в квад­ра­те x плюс 2 синус левая круг­лая скоб­ка n x пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка n x пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x синус x плюс ко­си­нус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка n x пра­вая круг­лая скоб­ка синус в квад­ра­те x, зна­ме­на­тель: синус x конец дроби .

Вто­рая фор­му­ла. База n=1:  ко­си­нус x= дробь: чис­ли­тель: синус 2 x, зна­ме­на­тель: 2 синус x конец дроби   — вер­ное утвер­жде­ние. Пе­ре­ход: пред­по­ло­жим, что утвер­жде­ние верно для не­ко­то­ро­го n, до­ка­жем, что оно Пе­ре­ход: пред­по­ло­жим, что утвер­жде­ние верно для не­ко­то­ро­го n, до­ка­жем, что оно верно и для n плюс 1.

 \sum_k=1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =\sum_k=1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: синус левая круг­лая скоб­ка 2 n x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 синус x конец дроби плюс ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =
= дробь: чис­ли­тель: синус левая круг­лая скоб­ка 2 n x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 2 n x плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка синус x, зна­ме­на­тель: 2 синус x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: синус левая круг­лая скоб­ка 2 n x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 2 n x пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x синус x минус 2 синус левая круг­лая скоб­ка 2 n x пра­вая круг­лая скоб­ка синус в квад­ра­те x, зна­ме­на­тель: 2 синус x конец дроби =
= дробь: чис­ли­тель: синус левая круг­лая скоб­ка 2 n x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2 синус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 2 n x пра­вая круг­лая скоб­ка синус 2 x, зна­ме­на­тель: 2 синус x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: синус левая круг­лая скоб­ка 2 n x пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 2 x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 2 n x пра­вая круг­лая скоб­ка синус 2 x, зна­ме­на­тель: 2 синус x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: синус левая круг­лая скоб­ка 2 левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 синус x конец дроби .

Раз­берём сна­ча­ла слу­чай  синус x=0 . В этом слу­чае левая часть урав­не­ния пре­вра­ща­ет­ся в 0, а пра­вая это 1007 или −1007, то есть числа x= Пи k при целых k не яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­я­ми за дачи. Вос­поль­зо­вав­шись до­ка­зан­ны­ми выше фор­му­ла­ми, пре­вра­тим ис­ход­ное урав­не­ние в

 дробь: чис­ли­тель: синус в квад­ра­те 1007 x, зна­ме­на­тель: синус x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: синус 1007 x ко­си­нус 1007 x, зна­ме­на­тель: синус x конец дроби ,

от­ку­да  синус 1007 x=0 или  синус 1007 x= ко­си­нус 1007 x.

В пер­вом слу­чае по­лу­ча­ем 1007 x= Пи k, от­ку­да x= дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 1007 конец дроби , где  k при­над­ле­жит Z . При этом, так как  синус x не равно q 0, число k не де­лит­ся на 1007.

Во вто­ром слу­чае по­лу­ча­ем 1007 x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k, от­ку­да x= дробь: чис­ли­тель: Пи плюс 4 Пи k, зна­ме­на­тель: 4028 конец дроби ,  k при­над­ле­жит Z . Для таких чисел  синус x не равно q 0, по­это­му из этого мно­же­ства ре­ше­ний ни­ка­кие числа ис­клю­чать не при­хо­дит­ся.

 

 

Ответ:

1)  x= дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 1007 конец дроби , k при­над­ле­жит Z , k не де­лит­ся на 1007;

2)  x= дробь: чис­ли­тель: Пи плюс 4 Пи k, зна­ме­на­тель: 4048 конец дроби , k при­над­ле­жит Z .


Аналоги к заданию № 743: 741 742 Все