РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 29 № 982 Добавить в вариант

а)  Найдите уравнения тех касательных к графику функции $y= натуральный логарифм x,$ которые проходят через начало координат.

б)  При каких a уравнение $натуральный логарифм x=a x$ имеет решения?

в)  Сколько решений имеет уравнение $6 в степени x =x в степени 6$ ?

г)  Сколько рациональных решений имеет уравнение пункта в)?

Спрятать решение

Решение.

а)   Вычисление стандартно.

Ответ: $y= дробь: числитель: x, знаменатель: e конец дроби .$

б)   Запишем уравнение в виде $дробь: числитель: натуральный логарифм x, знаменатель: x конец дроби =a$ и исследуем функцию $y= дробь: числитель: натуральный логарифм x, знаменатель: x конец дроби :\max y= дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби e$ при $x=e;$ $y\to минус бесконечность$ при $x\to 0;$ $y\to 0$ при $x\to плюс бесконечность .$ Ответ ясен из приведенного на рисунке графика.

Ответ: $a меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: e конец дроби .$

в)  Эта задача характерна тем, что бездумное использование графической интерпретации может привести к ошибке. На рисунке показаны эскизы графиков при не очень больших значениях аргумента. Ясно, что эти графики имеют одну точку пересечения с отрицательной абсциссой (монотонность и непрерывность), но не совсем понятно, что происходит на $левая квадратная скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ Это уравнение имеет очевидное решение $x=6$ и, как следует из рисунке, существует и еще одно его решение на интервале $левая круглая скобка 1; e правая круглая скобка .$

Ответ: три решения.

г)  Так как при нецелых x число 6^x иррационально, то среди натуральных чисел решением может быть только $x=2$ (см. решение предыдущего пункта), которое таковым не является.

Ответ: одно рациональное решение $x=6.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Косвенные способы в уравнениях, Анализ. Графики функций, уравнений, неравенств, Анализ. Касательная, Задачи с параметрами. Уравнения

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь