РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 884 Добавить в вариант

Найдите суммарную длину промежутков на числовой оси, на которых выполняются неравенства $|x| меньше 1$ и $синус логарифм по основанию 3 |x| больше 0.$

Спрятать решение

Решение.

До статочно решить задачу для положительных x, а потому умножить результат на 2. Если $синус логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка x больше 0,$ значит,

$2 k Пи меньше логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка x меньше левая круглая скобка 2 k плюс 1 правая круглая скобка Пи$

для какого-то целого k, то есть $3 в степени левая круглая скобка 2 k Пи правая круглая скобка меньше x меньше 3 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка 2 k плюс 1 правая круглая скобка Пи правая круглая скобка .$ Так как $x меньше 1,$ нас интересуют только отрицательные k. Обозначим $n= минус k.$ Число n принимает положительные значения, тогда длина промежутка положительности нашей функции, имеющего номер n при нумерации с левой стороны, равна

$3 в степени левая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 n минус 1 правая круглая скобка Пи правая круглая скобка минус 3 в степени левая круглая скобка минус 2 n Пи правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка минус 2 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка Пи правая круглая скобка левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка минус Пи правая круглая скобка минус 3 в степени левая круглая скобка минус 2 Пи правая круглая скобка правая круглая скобка .$

Следовательно, длины всех промежутков составляют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем $3 в степени левая круглая скобка минус 2 Пи правая круглая скобка ,$ а их сумма равна

$\sum_n=1 в степени левая круглая скобка бесконечность правая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 n минус 1 правая круглая скобка Пи правая круглая скобка = дробь: числитель: 3 в степени левая круглая скобка минус Пи правая круглая скобка минус 3 в степени левая круглая скобка минус 2 Пи правая круглая скобка , знаменатель: 1 минус 3 в степени левая круглая скобка минус 2 Пи правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 3 в степени левая круглая скобка минус Пи правая круглая скобка , знаменатель: 1 плюс 3 в степени левая круглая скобка минус Пи правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс 3 в степени левая круглая скобка Пи правая круглая скобка конец дроби .$

Умножая это число на 2, полу чаем ответ.

Ответ: $дробь: числитель: 2, знаменатель: 1 плюс 3 в степени левая круглая скобка Пи правая круглая скобка конец дроби$

Аналоги к заданию № 796: 884 Все

Открытая олимпиада школьников, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Алгебра. Прогрессии

Спрятать решение · Прототип задания · Помощь