а) Найдите уравнения тех касательных к графику функции 
которые проходят через начало координат.
б) При каких a уравнение 
имеет решения?
в) Сколько решений имеет уравнение 
г) Сколько рациональных решений имеет уравнение пункта в?
а) Поскольку 
касательная в точке 
имеет уравнение 
то есть 
Если эта прямая проходит через начало координат, то 
откуда 
и уравнение касательной имеет вид 
Ответ: 
б) Если 
то 
—
поэтому графики 
и обязательно пересекутся где-то в области 
Если 
то корней очевидно нет. Пусть теперь 
Функция является выпуклой вниз (ее вторая производная 
), поэтому прямые, проходящие ниже касательной при положительных x не будут пересекать ее график, а проходящие выше касательной — будут (см. рис.). При 
имеем 
поэтому там пересечений не будет. Окончательно 
Ответ: 
в) Запишем уравнение в виде 
Ясно, что 
не было корнем исходного уравнения. Тогда
Исследуем теперь функцию в левой части. При 
она примет вид 
поэтому
что положительно при 
и отрицательно при 
значит, эта функция возрастает при 
и убывает 
(мы использовали правило Лопиталя) и
Итак, функция принимает все значения из промежутка 
при и принимает все значения из промежутка 
при 
В частности 
поэтому такое значение при положительных x функция принимает дважды. Если же
то 
то есть функция 
нечетна. Значит, она при принимает значение 
столько же раз, сколько при принимает значение 
Это, очевидно, происходит один раз. Итого имеется три корня уравнения — по одному на промежутках 
Ответ: три решения.
г) Пусть 
—
Имеем 
отсюда ясно, что 
тогда 
Если 
то в левой части записано целое число, тогда в правой тоже должно быть целое число. Однако при возведении несократимой дроби в степень она не может стать сократимой, поэтому знаменатель ее будет равен 
а должен быть единицей, откуда 
и 
—
то аналогично можно записать уравнение в виде 
откуда ясно, что 
(а значит 
).
Итак, либо x натуральное число, либо 
где b — натуральное. Ясно что 
подходит в уравнение. Это корень, лежавший на 
На 
есть всего два натуральных числа 
и 
они корнями не являются.
Наконец пусть 
и уравнение 
принимает вид 
что невозможно, поскольку 
тоже иррациональный. Итого один рациональный корень.
Ответ: одно решение 