а) Найдите уравнения тех касательных к графику функции которые проходят через начало координат.
б) При каких a уравнение имеет решения?
в) Сколько решений имеет уравнение
г) Сколько рациональных решений имеет уравнение пункта в?
Решение. а) Поскольку касательная в точке имеет уравнение то есть Если эта прямая проходит через начало координат, то откуда и уравнение касательной имеет вид
Ответ:
б) Если то
Если то корней очевидно нет. Пусть теперь Функция является выпуклой вниз (ее вторая производная ), поэтому прямые, проходящие ниже касательной при положительных x не будут пересекать ее график, а проходящие выше касательной — будут (см. рис.). При имеем поэтому там пересечений не будет. Окончательно
Ответ:
в) Запишем уравнение в виде Ясно, что не было корнем исходного уравнения. Тогда
Исследуем теперь функцию в левой части. При она примет вид поэтому
что положительно при и отрицательно при значит, эта функция возрастает при и убывает
(мы использовали правило Лопиталя) и
Итак, функция принимает все значения из промежутка при и принимает все значения из промежутка при В частности поэтому такое значение при положительных x функция принимает дважды. Если же
то
то есть функция нечетна. Значит, она при принимает значение столько же раз, сколько при принимает значение Это, очевидно, происходит один раз. Итого имеется три корня уравнения — по одному на промежутках
Ответ: три решения.
г) Пусть
Если то в левой части записано целое число, тогда в правой тоже должно быть целое число. Однако при возведении несократимой дроби в степень она не может стать сократимой, поэтому знаменатель ее будет равен а должен быть единицей, откуда и
Итак, либо x натуральное число, либо где b — натуральное. Ясно что подходит в уравнение. Это корень, лежавший на На есть всего два натуральных числа и они корнями не являются.
Наконец пусть и уравнение принимает вид что невозможно, поскольку
Ответ: одно решение
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
---|---|
Верное и полное выполнение задания | 3 |
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
Остальные случаи | 0 |
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |