РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Поиск
?

в условии в решении в тексте к заданию в атрибутах
Скопировать ссылку на результаты поиска
Класс: 10 11 5 6 7 8 9
Атрибут

Всего: 88 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

Тип 21 № 8 Добавить в вариант

Прямоугольник разрезан на несколько прямоугольников, периметр каждого из которых – число метров, делящееся на 4. Верно ли, что периметр исходного прямоугольника делится на 4 нацело?

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верное решение, найден верный контрпример.	7
Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев.	0
Максимальный балл	7

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 48 Добавить в вариант

Существует ли четырехугольник, который можно разрезать на три равных треугольника двумя разными способами? Если не существует  — докажите, если существует  — постройте пример.

Решение · Помощь

Тип 0 № 144 Добавить в вариант

У Пети есть линейка длиной 10 см (то есть с помощью неё нельзя проводить отрезки длиной больше 10 см), и циркуль с максимальным раствором 6 см (то есть с помощью него невозможно рисовать окружности радиуса больше 6 см). Делений на линейке и циркуле нет, то есть измерять расстояния ими нельзя.

На листе бумаги нарисованы две точки. Известно, что расстояние между ними равно 17 см. Покажите, как Петя может соединить эти точки отрезком, используя только ту линейку и циркуль, которые у него есть.

Решение.

При построении будем использовать следующие операции.

Шаг 1. Дан отрезок CD длины меньше 12 см. Построить серединный перпендикуляр к нему и найти его середину. Для этого проведем две пересекающиеся окружности S₁, S₂ одинакового радиуса (например, 6 см) с центрами в точках C и D. Пусть EF  — отрезок, соединяющий их точки пересечения. Отрезок EF и будет серединным перпендикуляром отрезка CD. В случае, когда расстояние между точками пересечения больше 10 см, мы не можем соединить их с помощью линейки. (При выборе радиуса равным CD это расстояние чуть больше 10 см.) А тогда чуть уменьшим радиус и получим вторую пару окружностей, пересекающихся также в точках серединного перпендикуляра. В результате получим 4 точки пересечения, лежащие на одной прямой. Соединяя пары близких точек отрезками и продолжая проведенные отрезки очевидным образом (сдвигая линейку), мы проведем серединный перпендикуляр к отрезку CD. Далее выполним аналогичное построение с заменой точек C, D на E, F и получим серединный перпендикуляр к отрезку EF, совпадающий с CD. Пересечение построенных отрезков CD и EF и будет их общим центром.

Пусть A и B  — рассматриваемые точки, находящиеся на расстоянии 17 см. Построим отрезок, соединяющий их.

Шаг 2. Построение правильного шестиугольника с центром в точке A и стороной 6 см. Проведем окружность с центром A максимального радиуса (6 см). Выберем точку Q на ней и проведём новую окружность того же радиуса с центром в точке Q. Отметим её точки пересечения P₁, P₂ с исходной окружностью. Треугольники AQP_j, j = 1, 2 правильные. Продолжая аналогичное построение новых окружностей с центрами в точках P_j и в новых точках пересечения с исходной окружностью получим правильный шестиугольник с центром в точке A. Соединим все его вершины с точкой A отрезками с помощью линейки. Получили его разбиение на равные правильные треугольники с общей вершиной A. Повторяя упомянутые построения с центрами в точках нового шестиугольника, построим примыкающие к нему равные ему правильные шестиугольники и разобьём их на равные правильные треугольники. В результате получим (невыпуклый) многоугольник, составленный из правильных треугольников, содержащий круг радиуса 12 см с центром в точке A. Продолжая аналогичное построение окружностей с центрами в вершинах нового многоугольника и соответствующих новых правильных шестиугольников и треугольников, получим многоугольник Π, разбитый на примыкающие друг к другу правильные треугольники со стороной 6 см, которые мы будем называть треугольниками разбиения) и содержащий круг радиуса 18 см с центром в точке A. Тем самым, Π содержит точку B. Обозначим через T треугольник разбиения, содержащий точку B. Фиксируем вершину D треугольника T.

Проведём прямую AD. Это можно сделать с помощью циркуля и линейки. Заметим, что AD  — это диагональ подходящего параллелограмма, разбитого на правильные треугольники со стороной 6 см. Поэтому её середина  — это либо вершина, либо середина стороны треугольника разбиения. Длина диагонали AD не больше 17 + 6 = 23 см. Тем самым, длина её половины (с известными вершинами) меньше 12 см, и её можно построить, применяя шаг 1. Итак, мы провели отрезок AD.

Шаг 3: построение прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C и стороной BC меньше 6 см, с проведенными катетами AC, BC и непроведенной гипотенузой AB. Для этого продолжим прямую AD с помощью линейки и опустим перпендикуляр на нее из точки A c помощью следующего построения.

Решение · Помощь

Тип 0 № 155 Добавить в вариант

Прямоугольник 13 × 9 составлен из трёх типов фигурок:

(сторона клетки равна 1). Какое наименьшее число фигурок типа B может быть при этом использовано? При выкладывании прямоугольника фигурки разрешается как угодно поворачивать и переворачивать.

Решение.

Построим пример с 6-ю фигурками типа B. Сначала из двух фигурок типа B и одной фигурки типа C смастерим прямоугольник 3 × 4, поставив фигурки типа B в противоположные углы:

Впрочем, правильных разрезаний достаточно много, например, разрезание на рисунке ниже.

Далее прямоугольник 9 × 13 можно разрезать параллельной сеткой на 3 прямоугольника 3 × 4 (в каждом по 2 фигурки типа B) и 3 × 3 = 9 квадратов 3 × 3.

Докажем, что меньше 6 фигурок типа B использовать не получиться. Раскрасим столбцы прямоугольника 13 × 9 в три цвета: белый, синий и красный, параллельно стороне 13. Красных и синих клеток будет одинаковое количество, а вот белых клеток будет на 9 больше. Фигурки типа A и типа C имеют всегда одинаковое количество клеток каждого цвета. Фигурка типа B может иметь на две клетки одного цвета больше, чем любого другого цвета. Поэтому, замощениями фигурками прямоугольника 13 × 9 должно быть использовано не менее, чем [9/2] = 5 фигурок типа B. Покажем, что и 5 фигурок типа B будет недостаточно. Действительно, ведь если бы это было так, то среди 15 клеток покрытых фигурками типа B имелось бы одинаковое количество клеток синего и красного цвета и на 9 клеток больше белого цвета, такое возможно, если белых клеток будет 11, а синих и красных по 2. Но в таком случае одна из 5 фигурок типа B должна быть покрашена целиком в белый цвет, чего невозможно.

Ответ: 6.

Решение · Помощь

Тип 0 № 191 Добавить в вариант

Имеется три типа фигурок. Тип А: квадраты 2 × 2. Тип В: прямоугольники 3 × 2, из которых вырезана одна угловая клетка. Тип С: прямоугольники 3 × 2, из которых вырезаны две противоположные угловые клетки:

Из этих фигурок составлен прямоугольник 20 × 17. Какое наименьшее число фигурок типа B может быть при этом использовано? Фигурки можно как угодно поворачивать и переворачивать.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Приведено полное доказательство.	20
Доказана оценка для 20, но нет примера.	10
Доказана кратность ответа 4, невозможность B = 0 и приведён пример.	8
Только пример.	7
Доказана кратность ответа 4 и невозможность B = 0.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	20

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 271 Добавить в вариант

В правильном тетраэдре с ребром, равным 8, отмечены 25 различных точек: 4 вершины и 21 произвольная точка внутри тетраэдра. Никакие 4 отмеченные точки не лежат в одной плоскости. Докажите, что найдется тетраэдр с вершинами в отмеченных точках, объем которого меньше единицы.

Решение.

Объем тетраэдра с ребром 8 есть $дробь: числитель: 128 корень из 2 , знаменатель: 3 конец дроби ,$ поскольку этот тетраэдр получается если взять не соединенные ребром вершины куба с ребром $4 корень из 2 .$ Заметим, что $дробь: числитель: 128 корень из 2 , знаменатель: 3 конец дроби$ < 64, значит, если удастся тетраэдр разрезать на 64 тетраэдра с вершинами в отмеченных точках, то один из тетраэдров разбиения будет иметь объем меньше 1.

Докажем, что если внутри тетраэдра выбраны k точек, так что если добавить к ним 4 вершины тетраэдра, то среди полученных k + 4 точек никакие 4 не лежат в одной плоскости, тогда тетраэдр можно разрезать на 3k + 1 тетраэдр с вершинами в выбранных точках.

Индукция по k. При k = 0 считаем что тетраэдр разбит на один тетраэдр – самого себя. Пусть для k доказано, докажем для k + 1. Возьмем любые k из внутренних точек, по предположению индукции разобьем тетраэдр. Теперь добавим последнюю точку, и посмотрим, внутрь какого тетраэдра разбиения она попала. Этот тетраэдр разобьем на четыре, каждый из которых образован новой точкой и гранью разбиваемого тетраэдра. Разбитый тетраэдр заменим в разбиении четырьмя новыми, число тетраэдров в разбиении выросло на 3 (4 добавили 1 убрали).

Итак, при k = 21 имеем разбиение на 64 тетраэдра, что и требовалось.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Приведено полное решение.	28
Вычислительная ошибка, не влияющая на общий план решения при безупречной канве решения.	24
Идея разбивать на непересекающиеся тетраэдры и пользоваться принципом Дирихле, но отсутствует реализация (например, в корне неправильное число тетраэдров в разбиении, не 64 или 63, либо не доказано, почему можно разбить на столько тетраэдров, либо объем тетраэдра не посчитан или посчитан неверно, что не позволяет довести решение)	10
Решение не соответствует критериям, описанным выше.	0
Максимальный балл	28

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 314 Добавить в вариант

На какое максимальное число различных прямоугольников можно разрезать шахматную доску 8 на 8 клеток? Все разрезы должны проходить только по линиям сетки. Прямоугольники различны, если они не равны как геометрические фигуры.

Решение.

Выпишем возможные размеры возможных различных целочисленных прямоугольников минимальных площадей, помещающихся по линиям сетки на доску 8 на 8 в порядке возрастания этих площадей: 1 на 1, 1 на 2, 1 на 3, 1 на 4, 2 на 2, 1 на 5, 1 на 6, 2 на 3, 1 на 7, 1 на 8, 2 на 4, 3 на 3, 2 на 5. Прямоугольников уже 13, и сумма их площадей равна 73, что больше площади доски. Значит, больше, чем на 12 прямоугольников, разрезать доску требуемым в задаче образом нельзя.

С другой стороны, сумма площадей их всех, кроме 3 на 3, равна ровно 64 и можно указать пример такого разбиения на все эти 12 прямоугольников, кроме 3 на 3: первые четыре вертикали доски разрежем на полоски ширины 1 и длин 1 и 7, 2 и 6, 3 и 5, и 8 соответственно. Оставшиеся 4 вертикали разобьём на два вертикальных прямоугольника 2 на 7, составленных из прямоугольников 2 на 5 и 2 на 2, и 2 на 4 и 2 на 3. Сверху к ним добавим горизонтальную полоску 1 на 4. Возможны и другие примеры такого разбиения.

Ответ: На 12.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верное решение.	7
Доказано, что количество прямоугольников разбиения не превосходит 12.	4
Приведён верный пример для 12 прямоугольников.	3
Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев.	0
Максимальный балл	7

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 456 Добавить в вариант

Квадратный лист бумаги со стороной $5 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 5$ сложили, как показано на рисунке 1, получив новый квадрат. Полученный квадрат снова таким же образом сложили (рис. 2) и получили третий квадрат.

Подобную операцию проделали еще четыре раза. Полученный седьмой квадрат полностью развернули до первоначального квадрата. Чему равна длина линий изгибов на развернутом квадрате?

Критерии оценивания выполнения задания	Оценка	Баллы
Задача решена полностью.	+	12
Решение задачи, содержит верную общую схему решения, в котором отсутствуют некоторые обоснования или в результате описки или арифметической ошибки найден неверный ответ.	±	8
Решение содержит значительное продвижение в верном направлении. При этом решение не завершено или при правильном ответе в нем отсутствуют важные обоснования. ИЛИ В решении не учтено, что при каждом складывании «толщина» в листах бумаги увеличивается вдвое, что ведет к удвоению длины соответствующих линий сгиба. В остальном решение верное.	+/2	6
Решение в целом неверное или незаконченное, но содержит определенное содержательное продвижение в верном направлении.	∓	2
Задача не решена, содержательных продвижений нет.	−	0
Задача не решалась.	0	0

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 903 Добавить в вариант

Сколькими способами можно разбить прямоугольник $3\times 8$ на уголки из трех клеток?

Аналоги к заданию № 903: 914 Все

Решение · Помощь

Тип 0 № 914 Добавить в вариант

Сколькими способами можно разбить прямоугольник $3\times 6$ на уголки из трех клеток?

Аналоги к заданию № 903: 914 Все

Решение · Прототип задания · Помощь

Тип 0 № 1123 Добавить в вариант

Можно ли разрезать квадрат 10 × 10 на несколько прямоугольников, сумма периметров которых равна 2017?

Решение · Помощь

Тип 0 № 1135 Добавить в вариант

Способом разрезания составьте квадрат из: а) двух равных квадратов; б) трех равных квадратов.

Решение · Помощь

Тип 0 № 1443 Добавить в вариант

Доказать, что существует не менее пяти различных разбиений прямоугольной доски на пять треугольников, из которых можно сложить квадрат.

Решение · Помощь

Тип 0 № 1629 Добавить в вариант

Имеется прямоугольная доска размером 50см × 20см. Можно ли разрезать ее на 3 части так, чтобы из полученных фигур получился квадрат?

Решение · Помощь

Тип 0 № 1763 Добавить в вариант

На координатной плоскости нарисовали равнобедренный треугольник ABC: AB  =  2016, BC  =  AC  =  1533, причем вершины A и B лежат в узлах на одной горизонтали. Определите, сколько узлов лежит в треугольнике ABC (включая узлы, лежащие на сторонах). Узлом называется точка координатной плоскости, у которой обе координаты целые.

Решение.

Заметим, что

$1533 в квадрате минус 1008 в квадрате = левая круглая скобка 1533 минус 1008 правая круглая скобка левая круглая скобка 1533 плюс 1008 правая круглая скобка =525 умножить на 2541=$
$=21 умножить на 25 умножить на 7 умножить на 363=7 умножить на 3 умножить на 5 в квадрате умножить на 7 умножить на 3 умножить на 11 в квадрате = левая круглая скобка 7 умножить на 3 умножить на 5 умножить на 11 правая круглая скобка в квадрате =1155 в квадрате .$ $1533 в квадрате минус 1008 в квадрате = левая круглая скобка 1533 минус 1008 правая круглая скобка левая круглая скобка 1533 плюс 1008 правая круглая скобка =$
$=525 умножить на 2541=21 умножить на 25 умножить на 7 умножить на 363=$
$=7 умножить на 3 умножить на 5 в квадрате умножить на 7 умножить на 3 умножить на 11 в квадрате = левая круглая скобка 7 умножить на 3 умножить на 5 умножить на 11 правая круглая скобка в квадрате =1155 в квадрате .$

Значит, высота треугольника равна 1155.

Видим, что НОД чисел 1155 и 1008 равен 21. Это значит, что на боковой стороне имеется 22 узла (включая вершины), которые делят её на 21 равную часть.

Дальнейшая часть решения основана на том, что треугольник постепенно трансформируется в прямоугольник 1008 × 1155, количество узлов в котором лег ко посчитать. Схематично этот процесс представлен на рисунке. Обозначим искомое количество узлов в треугольнике через T.

1)  Разрежем треугольник по оси симметрии на две половины (два прямоугольных треугольника) и рассмотрим каждую из них как отдельную фигуру. Сумма количеств узлов в этих половинах на 1156 6ольше, чем в исходном треугольнике, то есть $T плюс 1156,$ поскольку узлы, находившиеся на оси симметрии, продублировались.

2)  Соединим эти две половины в прямоугольник $1008 \times 1155.$ Внутренние части половин полностью покрывают прямоугольник, при этом 22 узла, находящиеся в этих половинах, совпали. Поэтому количество узлов в прямоугольнике на 22 меньше, чем в двух половин ах, то есть $T плюс 1156 минус 22.$ В то же время это количество, очевидно, равно $1009 умножить на 1156.$ Значит,

$T плюс 1156 минус 22=1009 умножить на 1156,$

$T=1008 умножить на 1156 плюс 22=1156000 плюс 9248 плюс 22=1 165 270.$

Ответ: 1 165 270 узлов.

Решение · Помощь

Тип 0 № 1779 Добавить в вариант

Назовем клетчатым квадрантом четверть плоскости, расположенную выше оси X и правее оси Y, разбитую на клеточки со стороной 1. В клетчатом квадранте закрашены n² клеток. Докажите, что в этом квадранте найдется не менее n² + n клеток (в том числе, закрашенных), соседних по стороне с хотя бы одной закрашенной.

(С. Берлов, Д. Ширяев)

Решение.

Будем доказывать чуть более общее утверждение. Пусть в бесконечном клетчатом квадранте закрашено $a больше или равно n в квадрате$ клеток. Тогда у закрашенньх клеток будет как минимум $a плюс n$ соседей. Используем индукцию по n. Базу удобнее всего проверить при $n минус 0:$ соседей всегда не меньше, чем самих закрашенных клеток (поскольку у каждой закраненной клетки есть сосед справа и все эти соседи различны).

Для перехода используем для идеи. Они обе просты и незатейливы, но мало связаны друг с другом.

Идея 1. Разобьем весь квадрант на вертикальные полосы ширины 2. Заметим, что в каждой такой полосе, в которой есть хотя бы одна закрашенная клетка (будем называть такие полосы непустыми), соседей хотя бы на одного больше, чем закрашенных клеток. В самом деле, в каждой горизонтальной доминошке (из которых сложена эта полоса) соседей всегда ровно столько жсе, сколько закрашенных клеток  — проверьте это! Кроме того, самая верхняя закрашенная клетка в полосе даёт еще одного «лишнего» соседа  — сверху от себя.

Таким образом, если среди полос ширины 2 есть хотя бы n непустых, то соседей окажется хотя бы на n больше, чем закрашенных клеток, что и требовалось (и без всякой индукции).

Идея 2. Все клетки квадранта разбиваются на диагональные ряды (в самом первом ряду всего одна клетка, в следующем  — две, и т. д.). Рассмотрим самую верхнюю диагональ, в которой еть хотя бы одна закрашенная клетка. Все закрашенные клетки в этой диагонали разбиваются на блоки подряд идущих. Рассмотрим один из таких блоков; пусть в нём k закрашенных клеток.

В следующей (более длинной) диагонали есть $k плюс 1$ клеток, соседних с клетками этого блока. Заметим, что других закрашенных соседей у них нет; здесь используется, что соседние в нашей диагонали с рассматриваемым блоком клетки не закрашены (или вообще находятся за границей квадранта). Поэтому, если выкинуть k клеток этого блока (перестать считать их закрашенными), исчезнет $k плюс 1$ соседей. И если окажется, что соседей осталось хотя бы на $n минус 1$ больше, чем закрашенных клеток, то на исходной картинке их было хотя бы на n больше.

Осталось разобрать два случая. Если $k больше или равно 2 n,$ то клетки нашего диагонального блока затрагивают хотя n полос ширины 2, а значит, работает идея $1 .$ Если же $k меньше или равно 2 n минус 1,$ то после выкидывания этого блока останется

$a минус k больше или равно n в квадрате минус 2 n плюс 1= левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка в квадрате ,$

и по индукционному предположению соседей осталось хотя бы на $n минус 1$ больше, чем закрашенных клеток.

Решение · Помощь

Тип 0 № 1794 Добавить в вариант

Назовем типичным любой прямоугольный параллелепипед, все размеры которого (длина, ширина и высота) различны. На какое наименьшее число типичных параллелепипедов можно разрезать куб? Не забудьте доказать, что это действительно наименьшее количество.