Объем тет­ра­эд­ра с реб­ром 8 есть по­сколь­ку этот тет­ра­эдр по­лу­ча­ет­ся если взять не со­еди­нен­ные реб­ром вер­ши­ны куба с реб­ром За­ме­тим, что < 64, зна­чит, если удаст­ся тет­ра­эдр раз­ре­зать на 64 тет­ра­эд­ра с вер­ши­на­ми в от­ме­чен­ных точ­ках, то один из тет­ра­эд­ров раз­би­е­ния будет иметь объем мень­ше 1.

До­ка­жем, что если внут­ри тет­ра­эд­ра вы­бра­ны k точек, так что если до­ба­вить к ним 4 вер­ши­ны тет­ра­эд­ра, то среди по­лу­чен­ных k + 4 точек ни­ка­кие 4 не лежат в одной плос­ко­сти, тогда тет­ра­эдр можно раз­ре­зать на 3k + 1 тет­ра­эдр с вер­ши­на­ми в вы­бран­ных точ­ках.

Ин­дук­ция по k. При k = 0 счи­та­ем что тет­ра­эдр раз­бит на один тет­ра­эдр – са­мо­го себя. Пусть для k до­ка­за­но, до­ка­жем для k + 1. Возь­мем любые k из внут­рен­них точек, по пред­по­ло­же­нию ин­дук­ции разо­бьем тет­ра­эдр. Те­перь до­ба­вим по­след­нюю точку, и по­смот­рим, внутрь ка­ко­го тет­ра­эд­ра раз­би­е­ния она по­па­ла. Этот тет­ра­эдр разо­бьем на че­ты­ре, каж­дый из ко­то­рых об­ра­зо­ван новой точ­кой и гра­нью раз­би­ва­е­мо­го тет­ра­эд­ра. Раз­би­тый тет­ра­эдр за­ме­ним в раз­би­е­нии че­тырь­мя но­вы­ми, число тет­ра­эд­ров в раз­би­е­нии вы­рос­ло на 3 (4 до­ба­ви­ли 1 убра­ли).

Итак, при k = 21 имеем раз­би­е­ние на 64 тет­ра­эд­ра, что и тре­бо­ва­лось.