сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

До­ка­жи­те, что при любом на­ту­раль­ном n\leqslant2017 пря­мо­уголь­ник 1 × n можно раз­ре­зать на 50 ча­стей и со­ста­вить из них квад­рат.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

От­ре­жем от ис­ход­но­го пря­мо­уголь­ни­ка столь­ко пря­мо­уголь­ни­ков раз­ме­ром 1 \times ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: n конец ар­гу­мен­та , чтобы остав­ша­я­ся часть имела длину между  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: n конец ар­гу­мен­та и 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: n конец ар­гу­мен­та . По­сколь­ку  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: n конец ар­гу­мен­та мень­ше 45, то будет от­ре­за­но менее 45 пря­мо­уголь­ни­ков. Остав­шу­ю­ся часть раз­ре­жем на три фи­гу­ры (боль­шой тре­уголь­ник, ма­лень­кий тре­уголь­ник и пя­ти­уголь­ник), как по­ка­за­но на ри­сун­ке.

Те­перь пе­ре­ло­жим эти фи­гу­ры, как по­ка­за­но спра­ва. (Три не­пря­мо­уголь­ных фи­гу­ры дей­стви­тель­но об­ра­зу­ют пря­мо­уголь­ник, по­сколь­ку их «косые» сто­ро­ны имеют раз­ные уг­ло­вые ко­эф­фи­ци­ен­ты и одна из них равна сумме двух дру­гих). В ре­зуль­та­те по­лу­чил­ся пря­мо­уголь­ник, одна из сто­рон ко­то­ро­го равна  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: n конец ар­гу­мен­та . По­сколь­ку его пло­щадь n, то дру­гая сто­ро­на тоже равна  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: n конец ар­гу­мен­та , то есть это квад­рат. За­ме­тим, что он со­став­лен менее чем из 48 ча­стей. Раз­ре­зав про­из­воль­ным об­ра­зом не­ко­то­рые из них на мень­шие части, можно по­лу­чить 50 ча­стей.