Всего: 217 … 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 | 121–140 | 141–160 | 161–180 …
Добавить в вариант
получим 
или 
Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на прямой, проходящей через точку B и перпендикулярной AM.
(она лежит на серединном перпендикуляре к AB). Тогда 
то есть 
Учитывая, что 
имеем: 
Так как разложение 2021 на простые множители имеет вид 
то разложение 20212 на простые множители есть 
и поэтому 20212 можно представить в виде произведения двух натуральных чисел пятью способами: 
множители различны и второй множитель больше первого, то имеем четыре системы из двух уравнений: 
Докажите, что любые два различных члена последовательности взаимно просты.
Докажем, что 
можно представить в виде 
имеем 
Для 
получим 
при 
тогда при 
будем иметь 
имеет вид 
Из последнего соотношения следует, что если НОД 
то и 1 делится на d и, следовательно, 
то есть an и Дано 10 чисел: 10, 20,
а) все одинаковые числа?
б) все числа, равные 20?
то все числа одинаковые и 
Если же 
то 
и мы проделаем следующие три операции, которые S уменьшат на единицу, а значит через несколько таких операции сделают S равным нулю. Эти три операции заключаются в прибавлении по 1 к трем тройкам чисел; если, для определенности, 
то эти тройки таковы: 
Обозначим, 
и 
Тогда неравенство 
равносильно неравенству 
Последнее неравенство очевидно в случае, когда 
так как 
Из прямоугольного треугольников ABK и AMK имеем: 
значит, 
Так как углы β и 3α лежат в интервале 
то неравенство 
равносильно неравенству 
то есть 
то 
и 
и, значит, 
У Пети скопилось много кусочков пластилина трех цветов, и он плотно заполнил пластилином полый куб со стороной 5 см, так что в кубе не осталось свободного места. Докажите, что внутри куба найдутся две точки одного цвета на расстоянии ровно 7 см друг от друга.
где 
— ребро куба. Поскольку 
рассмотрим подобный тетраэдр с коэффициентом подобия 
то есть проделаем гомотетию с центром в центре куба и данным коэффициентом подобия. Получим четыре вершины нового тетраэдра внутри куба. Поскольку цветов у пластилина три, хотя бы две вершины этого тетраэдра будут одного цвета.
то есть 
Действительно, 
число 
то есть число сочетаний из x по 10 (или 
и, значит, это число натуральное. 
очевидно, 
а при отрицательных целых 
легко проверить, что 
и поэтому это тоже целое (даже натуральное) число.
и 
целые?
где m и n — целые. Решим эту систему уравнений, домножив первое уравнение на 10, а второе — на 7. Вычитая полученные уравнения, будем иметь 
то есть x — целое число.
Тогда 
и, значит, 
б) 
по часовой стрелке (то есть номера вершин в каждом пятиугольнике дают одинаковые остатки при делении на 5). Поскольку мальчиков 11, а пятиугольников 5, то хотя бы три мальчика будут «вершинами» одного из пятиугольников. Но тогда в этом пятиугольнике из данных трёх вершин хотя бы две будут соседними. А в 
то есть при условии 
имеем уравнение 
удовлетворяет условию 
—
то имеем уравнение 
удовлетворяет только корень 
Поэтому сумма квадратов любых двух сторон основания больше квадрата третьей стороны, а это означает, что треугольник ABC — остроугольный.
и 
тогда 
и легко подсчитать (по формуле куба суммы): 
и 
рациональны. Тогда 
—
также рационально.Внутри треугольника ABC взяли произвольную точку M. Через вершины треугольника и эту точку провели три отрезка до пересечения с противоположными сторонами. Докажите, что среди этих отрезков можно выбрать два таких, что точка M делит один из них (считая от вершины) в отношении ⩾ 2, а другой — в отношении ⩽ 2.
а 
где S — площадь треугольника ABC. 
Аналогичное противоречие получается для треугольника AMC (при рассмотрении высот из вершин B и M на сторону AC), если предположить, что все отношения для отрезков больше двух. Таким образом, мы указали два искомых отрезка из вершин C и B, ч. т. д.
имеет четыре различных корня.
Построим график 
на координатной плоскости и проведем касательную из точки 
к ветви графика, расположенной между точками M1 и 
Найдем точку касания 
Эта точка удовлетворяет уравнению 
а также уравнению прямой 
где 
то есть 
Из этих уравнений получаем 
или 
пересекает график 
в четырех точках, когда угловой коэффициент этой прямой находится между угловыми коэффициентами прямых M1M2 и M1M3, значит, 
или 
и 
при всех положительных x (что следует из неравенства между средними арифметическим и геометрическим). Поэтому 
при всех отрицательных x. Обозначим 
Тогда 
Далее, преобразуем 
Рассмотрим функцию 
областей определения верхней и нижней формулы значения совпадают (и равны 2), поэтому данная функция корректно определена и удовлетворяет условиям задачи.
его корни 
Корень 
удовлетворяет условию 
—
его корни 
и условию 
и 
Отсюда 
и 
имеющий корни. Обязательно ли имеет корни квадратный трёхчлен 
имеющего корни (−3 и 2), в то время как трехчлен 
корней не имеет.
так как у исходного трехчлена дискриминант неотрицательный. Если 
то возведём неравенство (с положительной правой и левой частью) в куб и получим: 
т. е. дискриминант и у второго трёхчлена положительный. Если же 
то неравенство очевидно (в правой части отрицательное число).