Внутри треугольника ABC взяли произвольную точку M. Через вершины треугольника и эту точку провели три отрезка до пересечения с противоположными сторонами. Докажите, что среди этих отрезков можно выбрать два таких, что точка M делит один из них (считая от вершины) в отношении ⩾ 2, а другой — в отношении ⩽ 2.
Пусть для определенности площади треугольников AMB, BMC и AOC упорядочены так:
Тогда 
а 
где S — площадь треугольника ABC.
Предположим, от противного, что в точке M все указанные отрезки делятся в отношении, меньшем двух. Тогда в треугольниках ABC и ABM отношение высот на сторону AB из точек C и M (соответственно) меньше трёх, что противоречит неравенству 
Аналогичное противоречие получается для треугольника AMC (при рассмотрении высот из вершин B и M на сторону AC), если предположить, что все отношения для отрезков больше двух. Таким образом, мы указали два искомых отрезка из вершин C и B, ч. т. д.
Комментарий.
1) Другое доказательство состоит в том, чтобы разбить треугольник прямыми, проходящими через точку пересечения медиан параллельно сторонам на 6 областей и далее проверить в каждой из областей, какая пара отрезков удовлетворяет требуемым неравенствам.
2) Из доказательства следует, что если в двойном нестрогом неравенстве (*) на самом деле имеют место равенства, то М — точка пересечения медиан, и отношения для всех трёх отрезков равны 2.