РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 7357 Добавить в вариант

На стороне BC треугольника ABC взята точка M такая, что $\angle B A M=\angle B C A.$ Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на прямой, проходящей через точку B и перпендикулярной AM.

Спрятать решение

Решение.

На прямой, проходящей через точку B и перпендикулярной прямой AM, возьмем такую точку N, что $A N=B N$ (она лежит на серединном перпендикуляре к AB). Тогда

$\angle N A B=\angle A B N=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle M A B,$

поэтому

$\angle A N B=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 2 \angle N A B=2 левая круглая скобка 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle A B N правая круглая скобка =2 \angle M A B=2 \angle A C B.$

Отсюда следует, что точка C лежит на окружности, проходящей через A и B, с центром в точке N: действительно, для этой окружности угол ANB  — центральный, а угол ACB  — вписанный, если бы точка C лежала вне этой окружности, то угол ACB был бы меньше половины центрального, а если бы точка С была внутри окружности, то угол ACB был бы больше половины центрального.

Олимпиада Будущие исследователи  — будущее науки, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2021 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Окружности описанные

Спрятать решение · Помощь