Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Существует ли функция f, определённая для всех действительных чисел и удовлетворяющая тождествам:
и 
Решение.
Значение 
при всех положительных x (что следует из неравенства между средними арифметическим и геометрическим). Поэтому 
при всех отрицательных x. Обозначим 
Тогда
то есть 
Далее, преобразуем
где 
Рассмотрим функцию
В обшей точке 
областей определения верхней и нижней формулы значения совпадают (и равны 2), поэтому данная функция корректно определена и удовлетворяет условиям задачи.
Ответ: существует.