Всего: 1000 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 | 121–140 …
Добавить в вариант
В конференции принял участие 281 сотрудник из 7 различных филиалов фирмы. В каждой группе из шести участников конференции по меньшей мере двое были одного возраста. Докажите, что среди всех участников можно найти пятерых одного возраста, одного пола и из одного филиала фирмы.
Десять пиратов делят между собой золотые и серебряные монеты. Серебряных монет в два раза больше, чем золотых. Они разделили золотые монеты так, что разница между количеством золотых монет у любых двух пиратов не делится на 10. Докажите, что они не смогут разделить серебряные монеты подобным образом.
За круглым столом расселись 15 мальчиков и 20 девочек. Оказалось, что количество пар сидящих рядом мальчиков в полтора раза меньше, чем количество пар сидящих рядом девочек. Найти количество пар мальчик — девочка, сидящих рядом.
откуда Х = 5. Следовательно, пар соседних мальчиков 10, девочек — 15, а смешаных соседних пар 15 + 20 − (10 + 15) = 10.
равна сумме цифр А плюс сумма цифр В минус число переходов единицы в следующий разряд при сложении, умноженное на 9. По условию, сумма цифр А вдвое больше суммы цифр В, поэтому их общая сумма делится на 3, значит, и сумма цифр 
должна делиться на 3 — противоречие с тем, что сумма цифр числа 2017 равна 10.Какое максимальное число треугольников с вершинами в вершинах правильного 18-ти угольника можно отметить так, чтобы никакие две различных стороны этих треугольников не были параллельны? Треугольники при этом могут пересекаться и иметь общие вершины, совпадающие отрезки считаются параллельными.
тогда 
откуда 
— первые три решения.
тогда 
откуда 
— первое и два последних решения. Покажем, что других решений нет.
и 
Вычтем из первого второе уравнение и разделим на 
получим 
Сложим первое и второе уравнение и разделим на 
получим 
Следовательно, 
откуда 
то есть 
Назовём змейкой в выпуклом n-угольнике незамкнутую, не самопересекающуюся ломаную из n − 1 звеньев, множество вершин которой совпадает с множеством всех вершин n-угольнике. Найти число различных змеек в n-угольнике. (Змейки равны, если совпадают, как геометрические места точек n-угольника. Например, число змеек в треугольнике равно 3).
База при 
очевидна. Для произвольного n, имеем две возможности для звена с концом А — это стороны АВ и АС n-угольника, где В и С — соседние с А вершины. Если первое звено АХ отлично от АВ и АС, то диагональ АХ делит n-угольник на два невырожденных многоугольника с более, чем тремя вершинами в каждом, считая А и Х. Тогда второе звено змейки и все следующие, ввиду её несамопересекаемости, будут лежать в одном из них и не смогут содержать вершину другого, отличную от А и Х, что противоречит условию. Пусть первым звеном является АВ, тогда оставшиеся 
звена змейки являются змейкой с началом В в 
-угольнике, получающемся из исходного удалением треугольника АВС. По индукционному предположению, таких змеек будет 
— это в точности все змейки с крайним звеном АВ. Аналогично, змеек с крайним звеном АС тоже будет 
поэтому общее число змеек, одним из концов которых является А, будет 
на число вершин n и поделим пополам, так как каждую змейку мы подсчитали дважды — с каждого из её концов — всего 
различных, максимальное из которых мы обозначим за x, а сумму всех чисел — за S. Тогда сумма всех чисел, кроме максимального, не превосходит
так как делится на него. Следовательно, неравенство 
— имеет решения в натуральных числах, и 
Положительность дискриминанта даёт нам 
и 
Рассмотрим случаи каждого максимального числа отдельно.
тогда 
и делится на 64, поэтому 
Тогда 
делится на 
только при 
поэтому в данном случае 
тогда 
и делится на 49, поэтому 
Тогда 
делится на 
только при 
тогда 
и делится на 36, поэтому 
Тогда 
делится на 
только при 
поэтому в данном случае 
тогда 
и делится на 25, поэтому 
Тогда 
делится на 
только при 
поэтому в данном случае 
Искомое множество должно содержать 10 натуральных чисел с суммой 30, среди которых должны быть 1, 2, 3, 5. Теперь уже несложно построить пример для 
1, 1, 1, 2, 2, 3, 5, 5, 5, 5. Этот пример не единственный.
.
.
.
и 
быть рациональными?
откуда 
В силу рациональности a и b последнее неравенство возможно только при 
откуда 
однако при этом 
что невозможно.
откуда 
что явно не удовлетворяет обоим уравнениям. Решений нет.
откуда 
что тоже явно не удовлетворяет обоим уравнениям. Решений нет.
Домножим первое уравнение на 
Получим 
Домножим второе уравнение на 
получим: 
Поделим второе уравнение на первое, получим 
откуда 
С учётом первого уравнения, 
Заменяя 
получаем биквадратное уравнение 
откуда 
а величина угла ВРС равна 
величина ОСВ, как угла при основании равнобедренного треугольника ОСВ с углом 
при вершине О, равна 
Считаем их разность: 
Сложив все неравенства и поделив пополам, получим: 
то есть, что сумма длин любой пары противоположных рёбер меньше суммы двух других аналогичных сумм. Из неравенства треугольника следует существование искомого в условии треугольника.
оставшихся, либо делиться на неё при любом k от 1 до 
— все числа от 1 до n, записанные в требуемом в условии порядке. Обозначим их сумму за S, и рассмотрим максимальное k такое, что 
не превосходит 
Тогда числа Ak и 
являются собственными делителями числа S, меньшими 
значит, оба они не больше 
Следовательно, 
откуда 
и 
Тогда числа 
и 
являются различными собственными делителями числа S, меньшими 
можно считать, 
Тогда 
откуда 
и 
Более того, при 
случай б) невозможен из-за нечётности S. При 
число S не делится на 3, поэтому один из делителей 
и 
не превосходит 
что позволяет улучшить оценку: 
откуда 
и 
.
.
а именно: 1, 10, 100, Имеются таблицы А и В, в ячейки которых вписаны целые числа. С таблицей А можно проделывать следующие действия:
1) прибавлять к строке другую строку, умноженную на произвольное целое число;
2) прибавлять к столбцу другой столбец, умноженный на произвольное целое число.
Например, если к первой строке таблицы A прибавить вторую строку, умноженную на 4, то получится таблица, изображенная на рисунке справа после слова пример. Можно ли, проделав некоторое количество указанных действий с таблицей А, получить таблицу B? Ответ обоснуйте.
| 1 | 0 |
| 0 | 2 |
| 0 | 2 |
| 3 | 0 |
| 1 | 8 |
| 0 | 2 |
что для таблиц А и В не выполнено. Поэтому указанным способом получить таблицу B из таблицы А нельзя.
Всего: 1000 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 | 121–140 …
лежащие на интервале 
и левая часть может быть разложена на множители следующим образом:
(1)
то 
Следовательно, 
и 
Поэтому 
— единственный корень уравнения (1). Далее легко найти, что 
и 
