Обо­зна­чим ве­ли­чи­ны углов РАС и РВА за a, а ве­ли­чи­ны углов РАВ и РСА  — за b. Тогда ве­ли­чи­на угла ВАС равна а ве­ли­чи­на угла ВРС равна

то есть удво­ен­ной ве­ли­чи­не ВАС. Ровно такую же ве­ли­чи­ну имеет и угол ВОС  — цен­траль­ный в опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка АВС, со­от­вет­ству­ю­щий впи­сан­но­му углу ВАС. Сле­до­ва­тель­но, че­ты­ре точки В, О, Р, С лежат на одной окруж­но­сти S. Точка О по­па­да­ет тогда в один из тре­уголь­ни­ков РАВ или РАС, можно счи­тать, в тре­уголь­ник АРВ, так как не может ле­жать в тре­уголь­ни­ке ВРС или на его сто­ро­нах, тогда угол ВОС был бы боль­ше угла ВРС. Ве­ли­чи­на угла АРО в этом слу­чае равна раз­но­сти углов АРВ и ОРВ, ко­то­рый равен углу ОСВ, как впи­сан­ный в S, опи­ра­ю­щий­ся на ту же хорду ОВ.

Ве­ли­чи­на АРВ оче­вид­но равна ве­ли­чи­на ОСВ, как угла при ос­но­ва­нии рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ОСВ с углом при вер­ши­не О, равна Счи­та­ем их раз­ность:

Зна­чит, угол АРО дей­стви­тель­но пря­мой.