По­ка­жем, что для лю­бо­го на­ту­раль­но­го числа n су­ще­ству­ет на­ту­раль­ное число N, де­ля­ще­е­ся на­це­ло на n, сумма цифр ко­то­ро­го равна n. Дей­стви­тель­но, рас­смот­рим числа вида а имен­но: 1, 10, 100, 1000, ...

Среди этих чисел вы­бе­рем n чисел, име­ю­щих оди­на­ко­вые остат­ки от де­ле­ния на n (это можно сде­лать, по­сколь­ку чисел вида 10k бес­ко­неч­но много, а остат­ков от де­ле­ния на n ровно n). В ка­че­стве ис­ко­мо­го N возь­мем сумму этих n чисел. Утвер­жде­ние до­ка­за­но.