РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 220 Добавить в вариант

Решить в действительных числах систему уравнений: $x в квадрате плюс xy плюс y в квадрате =4,x в степени 4 плюс x в квадрате y в квадрате плюс y в степени 4 =8.$

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим случаи.

1)  Пусть $x=y,$ тогда $3x в квадрате =4,3x в степени 4 =8,$ откуда $x в квадрате =2,$ что явно не удовлетворяет обоим уравнениям. Решений нет.

2)  Пусть $x= минус y,$ тогда $x в квадрате =4,3x в степени 4 =8,$ откуда $x в квадрате = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби$ что тоже явно не удовлетворяет обоим уравнениям. Решений нет.

3)  Пусть $x не равно \pm y.$ Домножим первое уравнение на $x минус y.$ Получим $x в кубе минус y в кубе =4 левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка .$ Домножим второе уравнение на $x в квадрате минус y в квадрате ,$ получим: $x в степени 6 минус y в степени 6 =8 левая круглая скобка x в квадрате минус y в квадрате правая круглая скобка .$ Поделим второе уравнение на первое, получим $x в кубе плюс y в кубе =2 левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка ,$ откуда $x в квадрате минус xy плюс y в квадрате =2.$ С учётом первого уравнения, $xy=1,x в квадрате плюс y в квадрате =3.$ Заменяя $y= дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби ,$ получаем биквадратное уравнение $x в степени 4 минус 3x в квадрате плюс 1=0,$ откуда $x=\pm корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 3\pm корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента ,$ $y =\pm корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 3 \mp корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента$

Ответ: $\pm левая круглая скобка корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 3 \pm корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента , корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 3 \mp корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верное решение.	7
Потеря части решений или приобретение лишних решений.	4-5
Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев.	0
Максимальный балл	7

Всесибирская олимпиада школьников, 11 класс, 3 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Системы нелинейный уравнений, Методы алгебры. Косвенные методы в уравнения и неравенствах

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь