Всего: 1000 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 …
Добавить в вариант
т. е. ни одна из сумм 
множеству M не принадлежит. Кроме того, суммы 
и 
не могут одновременно принадлежать M, поскольку 
Получается, что по крайней мере для одной из троек (a1, a2, a3) и (a1, a2, a4) сумма любых двух ее элементов множеству M не принадлежит. 
Вычитаем учетверённое первое уравнение из второго, получаем 
откуда 
значит, 
С другой стороны, 
значит, 
откуда 
Следовательно, подходить может единственный вариант: 
Проверяем его подстановкой во второе уравнение и убеждаемся, что это решение.
и не больше 
Следовательно, разность между суммой всех цифр числа, стоящих на нечётных местах и суммой его цифр, стоящих на чётных местах, равная 
является нечётным числом из интервала от −15 до 25, делящимся на 11. 
и 
Соображения максимальности дают для них число 79483625140.
по теореме, обратной теореме Фалеса это влечёт параллельность PQ и АВ (и то, что отношение их длин равно 1 к 3). Аналогично доказывается параллельность остальных пар сторон. Строго говоря, отсюда следует подобие четырёхугольников с коэффициентом 
но это для решения задачи не нужно.
из первого равенства имеем 
причём, если 
и из второго равенства 
Следовательно, для любой пары чисел из нашей либо эти числа равны, либо их сумма равна 2 и произведение оставшейся пары чисел равно 1. В частности, среди чисел нашей четвёрки содержится максимум два различных числа. 
Ввиду монотонности функции 
являющейся суммой двух монотонно возрастающих функций 
и 
решение будет единственно: 
Получаем первую искомую четвёрку 
Если чисел, равных a, ровно два, то 
откуда 
и мы имеем на самом деле случай 1). Если чисел, равных a, ровно три, то 
и, либо 
и мы получаем новую искомую четвёрку 
Добавляя решения, получающиеся перестановками переменных, получим три новых четвёрки.
и 
Преобразовывая правую часть, получим 
Последняя дробь будет целым числом при n = 3 и n = 8, но последнее число не является решением (подставьте!).
или 
и 
следовательно, 
С другой стороны, 
и 
следовательно, 
что и требовалось доказать.
больше, чем 
Квадрат со стороной 4 см разделён тремя параллельными горизонтальными и тремя параллельными вертикальными линиями на 16 квадратиков со стороной 1 см. Стороны этих квадратиков, включая и те, которые расположены на границе большого квадрата, будем называть единичными отрезками. Сколькими способами можно задать на каждом из 40 единичных отрезков ориентацию так, чтобы общая сумма всех полученных 40 векторов была равна 0? Ответ можно дать в виде формулы, не обязательно доводить его до числа.
Следовательно, чтобы сумма всех векторов равнялась нулю, необходимо и достаточно, чтобы ровно половина горизонтальных и ровно половина вертикальных отрезков были ориентированы положительно, а остальные — отрицательно. При этом безразлично, какие именно. 
способов выбора 10 из 20 горизонтальных положительно ориентированных отрезков и 
площади четырёхугольника XYZT. Покажем, что площадь последнего четырёхугольника равна половине площади ABCD. Заметим, что отрезок XY является средней линией треугольника АВС, поэтому площадь треугольника XBY равна четверти площади треугольника ABC. Аналогично, площадь треугольника ZDT равна четверти площади треугольника CDA, а сумма площадей XBY и ZDT равна четверти площади ABCD. Так же доказывается, что и сумма площадей YCZ и TAX равна четверти площади ABCD. Наконец, площадь XYZT равна разности площадей ABCD и треугольников XBY, ZDT, YCZ и TAX, то есть половине площади ABCD. Окончательно, площадь четырёхугольника равна 
площади четырёхугольника ABCD.
Алфавит состоит из n букв. Слово, составленное из этих букв, называется разрешённым, если все стоящие в нём рядом буквы различны и из него нельзя вычёркиванием букв получить слово вида abab, где буквы a и b различны. Какую максимальную длину может иметь разрешённое слово?
— очевидно. В произвольном слове w от n + 1 буквы рассмотрим первую слева букву, назовём её a, если она больше не встречается в w, оставшаяся часть w является словом от n букв и по предположению индукции имеет длину не больше 
Общая длина w при этом не превосходит 
Добавляем сюда k вхождений a, получим, что длина w не превосходит 
— шаг индукции доказан.
Имеется неограниченное количество пробирок трёх видов — А, В и С. Каждая из пробирок содержит один грамм раствора одного и того же вещества. В пробирках вида А содержится 10% раствор этого вещества, в пробирках В — 20% раствор и в С — 90% раствор. Последовательно, одну за другой, содержимое пробирок переливают в некоторую ёмкость. При этом при двух последовательных переливаниях нельзя использовать пробирки одного вида. Какое наименьшее количество переливаний надо сделать, чтобы получить в ёмкости 20,17% раствор? Какое наибольшее количество пробирок вида C может быть при этом использовано?
равно 1000. Покажем, что эта оценка достижима. То есть, докажем, что существуют неотрицательные целые числа a, b и с такие, что
)
Заметим, что для любых двух взаимно простых натуральных чисел a и b справедливо равенство: 
Действительно, любой делитель произведения ab есть произведение делителя a и делителя b. И наоборот: умножив делитель a на делитель b, получим делитель произведения ab. Это же, очевидно, верно и для квадратов делителей (квадрат делителя произведения равен произведению квадратов делителей сомножителей и наоборот).
Здесь pi — попарно различные простые числа, и 
и 
Поскольку 
то
Докажите, что 
Стороны a, b, c лежат соответственно напротив углов α, β, γ.
Найдем на отрезке AB точку D такую, что 
Тогда треугольник ACD равнобедренный и 
Значит, 
и треугольники BCD и ABC подобны. Имеем 
или 
откуда следует искомое соотношение.
раскладывается на линейные множители с целочисленными коэффициентами?
Следовательно, ab = −n, то числа a и b разных знаков и не равны нулю. Без ограничения общности будем считать, что 
Поскольку 
то
В тридесятом государстве 29 февраля одного стародавнего года на ярмарке купец продавал сапоги-самоплясы за 2000 алтын. По правилам торговли, цена на товар корректируется каждое утро перед открытием. Цену можно увеличить на 10%, можно уменьшить на 1% или на 12% относительно цены предыдущего дня, а можно вообще не менять. При этом цена должна быть целым числом алтын, округлять ее нельзя. 1 апреля того же года боярин из торговой инспекции обнаружил, что у того же купца те же сапоги-самоплясы стоят 2017 алтын, и составил акт о нарушении правил торговли. Купец в ответ на это заявил, что никаких нарушений он не допускал. Кто из них прав?
или 
При любом другом изменении новая цена должна делиться на 11. Число 2017 на 11 не делится, а потому оно не может быть получено с помощью нескольких таких изменений.
для всех 
Найдите x2017, если x1 = 6.
при всех натуральных n:
— верно.
то 
или 
имеем:
и 
Натуральные числа a, b, c, d, и e являются последовательными членами арифметической прогрессии. Найдите наименьшее возможное значение числа c, если сумма b + c + d является полным квадратом, а сумма a + b + c + d + e является полным кубом.