сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Най­ди­те наи­боль­шее на­ту­раль­ное число, де­ля­ще­е­ся на 990, в за­пи­си ко­то­ро­го каж­дая цифра встре­ча­ет­ся ровно по од­но­му разу.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Число 990 есть про­из­ве­де­ние вза­им­но про­стых чисел 2, 5, 9 и 11. Любое де­ся­ти­знач­ное число, со­став­лен­ное из раз­лич­ных цифр, взя­тых по разу, де­лит­ся на 9, так как их сумма, рав­ная 45, де­лит­ся на 9. По при­зна­ку де­ли­мо­сти на 10 ис­ко­мое число долж­но окан­чи­вать­ся на 0. Оста­лось разо­брать­ся с де­ли­мо­стью на 11.

При­знак де­ли­мо­сти на 11 зву­чит так: число де­лит­ся на 11 тогда и толь­ко тогда, когда раз­ность между сум­мой всех его цифр, сто­я­щих на нечётных по по­ряд­ку слева на­пра­во ме­стах и сум­мой его цифр, сто­я­щих на чётных ме­стах, де­лит­ся на 11. Оце­ним зна­че­ние S суммы цифр ис­ко­мо­го числа, сто­я­щих на нечётных ме­стах: оно не мень­ше 1 плюс 2 плюс 3 плюс 4 плюс 5=15 и не боль­ше 5 плюс 6 плюс 7 плюс 8 плюс 9=35. Сле­до­ва­тель­но, раз­ность между сум­мой всех цифр числа, сто­я­щих на нечётных ме­стах и сум­мой его цифр, сто­я­щих на чётных ме­стах, рав­ная 2S минус 45, яв­ля­ет­ся нечётным чис­лом из ин­тер­ва­ла от −15 до 25, де­ля­щим­ся на 11.

Таких чисел всего два: −11 и 11, для них S со­от­вет­ствен­но, равна 17 и 28. Легко убе­дить­ся, что для S  =  17 есть толь­ко два ва­ри­ан­та S=1 плюс 2 плюс 3 плюс 4 плюс 7 и S=1 плюс 2 плюс 3 плюс 5 плюс 6. Со­об­ра­же­ния мак­си­маль­но­сти дают для них число 79483625140.

Для S  =  28 будем вы­пи­сы­вать по по­ряд­ку мак­си­маль­но воз­мож­ные цифры слева на­пра­во, пока это воз­мож­но с со­блю­де­ни­ем усло­вия, что сумма цифр на ме­стах с нечѐтными но­ме­ра­ми может быть равна в итоге 28, а сумма цифр на ме­стах с чётными но­ме­ра­ми  — 17. По­лу­чит­ся 98765, далее сумма остав­ших­ся двух цифр на ше­стом и вось­мом ме­стах долж­на рав­нять­ся 3, что воз­мож­но толь­ко, если они равны 1 и 2, от­ку­да и по­лу­ча­ет­ся число в от­ве­те. Оно боль­ше, чем ранее най­ден­ное 79483625140 для S  =  17. Если бы можно было найти боль­шее число, для него было бы S  =  28 и ше­стая слева цифра была бы боль­ше 2, что, как мы по­ня­ли, не­воз­мож­но.

 

Ответ: 9876524130.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Вер­ное ре­ше­ние, ответ вы­пи­сан, а потом пол­ным пе­ре­бо­ром до­ка­за­на мак­си­маль­ность.7
Най­де­ны воз­мож­ные зна­че­ния.2
Если ответ уга­дан и про­ве­ре­на де­ли­мость.1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из пе­ре­чис­лен­ных выше кри­те­ри­ев.0
Мак­си­маль­ный балл7