1.  Если n  — чётное, то такой мно­го­уголь­ник су­ще­ству­ет. До­ста­точ­но взять пра­виль­ный n-уголь­ник.

2.  Для n  =  3 или 5 та­ко­го быть не может. Дей­стви­тель­но, ни­ка­кие две сто­ро­ны в тре­уголь­ни­ке не па­рал­лель­ны. Если каж­дая из сто­рон пя­ти­уголь­ни­ка была бы па­рал­лель­на дру­гой сто­ро­не, мы бы нашли три па­рал­лель­ные сто­ро­ны, при этом две из них долж­ны были бы пе­ре­се­кать­ся. Это не­воз­мож­но.

3.  Для n  =  7 такой мно­го­уголь­ник су­ще­ству­ет. При­мер при­ведён на ри­сун­ке 1.

Рис. 1

До­ка­жем ме­то­дом ма­те­ма­ти­че­ской ин­дук­ции, что для нечётного по­ло­жи­тель­но­го числа n > 5 ис­ко­мый мно­го­уголь­ник су­ще­ству­ет. Пусть для не­ко­то­ро­го це­ло­го k су­ще­ству­ет k-уголь­ник, удо­вле­тво­ря­ю­щий усло­вию за­да­чи. Вы­бе­рем вер­ши­ну, в ко­то­рой внут­рен­ний угол мно­го­уголь­ни­ка мень­ше 180°. Те­перь от­ре­жем ма­лень­кий па­рал­ле­ло­грамм как по­ка­за­но на ри­сун­ке 2. Мы по­лу­чим (k + 2)-уголь­ник, удо­вле­тво­ря­ю­щий усло­вию за­да­чи.

Рис. 2

Ответ: при и