PDF-версии: 
Для каких положительных целых n > 2 существует многоугольник с n вершинами (не обязательно выпуклый) такой, что каждая его сторона параллельна какой-либо другой его стороне?
Решение. 1. Если n — чётное, то такой многоугольник существует. Достаточно взять правильный n-угольник.
2. Для n = 3 или 5 такого быть не может. Действительно, никакие две стороны в треугольнике не параллельны. Если каждая из сторон пятиугольника была бы параллельна другой стороне, мы бы нашли три параллельные стороны, при этом две из них должны были бы пересекаться. Это невозможно.
3. Для n = 7 такой многоугольник существует. Пример приведён на рисунке 1.
Докажем методом математической индукции, что для нечётного положительного числа n > 5 искомый многоугольник существует. Пусть для некоторого целого k существует k-угольник, удовлетворяющий условию задачи. Выберем вершину, в которой внутренний угол многоугольника меньше 180°. Теперь отрежем маленький параллелограмм как показано на рисунке 2. Мы получим (k + 2)-угольник, удовлетворяющий условию задачи.
Ответ: при 
и 
| Критерии оценивания выполнения задания | Оценка | Баллы |
|---|---|---|
| Полное решение. | + | 12 |
| Доказано, что при четном n такой многоугольник существует. Доказано, что и Приведен пример семиугольника, который удовлетворяет условию задачи. Доказательство, что подобный многоугольник существует при нечетных n больше 7 неполное. | +. | 10 |
| Доказано, что при четном n такой многоугольник существует. Доказано, что и Приведен пример многоугольника с нечетным числом сторон, который удовлетворяет условию задачи. | ± | 9 |
| Доказано, что при четном n такой многоугольник существует. | +/2 | 6 |
| Верно рассмотрены случаи при некоторых n. | ∓ | 2 |
| Решение не соответствует ни одному критерию, описанному выше. | −/0 | 0 |
| Максимальный балл | 12 | |
и и