На доске написаны 10 натуральных чисел, среди которых могут быть равные, причём квадрат каждого из них делит сумму всех остальных. Какое наибольшее количество различных чисел может быть среди выписанных?
Пример для четырёх различных чисел: 1, 1, 1, 2, 2, 3, 5, 5, 5, 5.
Пусть среди выписанных чисел ровно 
различных, максимальное из которых мы обозначим за x, а сумму всех чисел — за S. Тогда сумма всех чисел, кроме максимального, не превосходит
что не меньше 
так как делится на него. Следовательно, неравенство 
— имеет решения в натуральных числах, и 
Положительность дискриминанта даёт нам 
и 
Рассмотрим случаи каждого максимального числа отдельно.
а) Пусть 
тогда 
и делится на 64, поэтому 
Тогда 
делится на 
только при 
поэтому в данном случае 
б) Пусть 
тогда 
и делится на 49, поэтому 
Тогда 
делится на 
только при поэтому и в данном случае
в) Пусть 
тогда 
и делится на 36, поэтому 
Тогда 
делится на 
только при 
поэтому в данном случае 
г) Пусть 
тогда 
и делится на 25, поэтому 
Тогда 
делится на 
только при 
поэтому в данном случае 
Искомое множество должно содержать 10 натуральных чисел с суммой 30, среди которых должны быть 1, 2, 3, 5. Теперь уже несложно построить пример для 
1, 1, 1, 2, 2, 3, 5, 5, 5, 5. Этот пример не единственный.
Ответ: Четыре.
.
.
.