РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 214 Добавить в вариант

Решить в действительных числах систему уравнений: $x в кубе плюс y=2 x,$ $y в кубе плюс x=2 y.$

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим случаи.

1)  Пусть $x=y,$ тогда $x в кубе =x=y,$ откуда $левая круглая скобка x,y правая круглая скобка = левая круглая скобка 0,0 правая круглая скобка ,\pm левая круглая скобка 1,1 правая круглая скобка$   — первые три решения.

2)  Пусть $x= минус y,$ тогда $x в кубе =3x= минус y,$ откуда $левая круглая скобка x,y правая круглая скобка = левая круглая скобка 0,0 правая круглая скобка ,\pm левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка$   — первое и два последних решения. Покажем, что других решений нет.

3)  Пусть $x не равно \pm y$ и $x,y не равно 0.$ Вычтем из первого второе уравнение и разделим на $x минус y,$ получим $x в квадрате плюс xy плюс y в квадрате =3.$ Сложим первое и второе уравнение и разделим на $x плюс y,$ получим $x в квадрате минус xy плюс y в квадрате =1.$ Следовательно, $x в квадрате плюс y в квадрате =2,$ $x плюс y=1,$ откуда $x в квадрате плюс y в квадрате минус 2xy=0,$ то есть $x=y,$ что в данном случае невозможно. Новых решений не получается.

Ответ: $левая круглая скобка 0,0 правая круглая скобка ,\pm левая круглая скобка 1,1 правая круглая скобка ,\pm левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верное решение.	7
Рассмотрены первые два случая.	2
Угаданы с проверкой все решения.	1
Потеряна часть решений.	3-6
Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев.	0
Максимальный балл	7

Всесибирская олимпиада школьников, 10 класс, 3 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Косвенные способы в системах, Алгебра: уравнения и неравенства. Системы нелинейный уравнений

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь