Найти все натуральные n, для которых все натуральные числа от 1 до n включительно можно записать в ряд в таком порядке, что сумма первых слева k чисел будет либо делить сумму всех 
оставшихся, либо делиться на неё при любом k от 1 до 
Примеры для этих чисел: {1, 2, 3}, {1, 4, 3, 2}, {1, 4, 5, 2, 3}.
Пусть 
— все числа от 1 до n, записанные в требуемом в условии порядке. Обозначим их сумму за S, и рассмотрим максимальное k такое, что 
не превосходит 
а) Пусть 
Тогда числа Ak и 
являются собственными делителями числа S, меньшими 
значит, оба они не больше 
Следовательно, 
откуда 
и 
б) Пусть 
Тогда числа 
и 
являются различными собственными делителями числа S, меньшими значит, одно из них не больше 
можно считать, 
Тогда 
откуда 
и 
Более того, при 
случай б) невозможен из-за нечётности S. При 
число S не делится на 3, поэтому один из делителей 
и 
не превосходит 
что позволяет улучшить оценку: 
откуда 
и 
Ответ: 3, 4, 5.
.
.