Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Доказать, что рёбра произвольного тетраэдра (треугольной пирамиды) можно разбить некоторым образом на три пары так, что существует треугольник, длины сторон которого равны суммам длин рёбер тетраэдра в этих парах.
Решение.
Обозначим вершины тетраэдра через АВСD, разобьём его рёбра на пары противоположных: {AB, CD}, {AC, BD}, {AD, BC}. Из неравенства треугольника следует: 
Сложив все неравенства и поделив пополам, получим: 
то есть, что сумма длин любой пары противоположных рёбер меньше суммы двух других аналогичных сумм. Из неравенства треугольника следует существование искомого в условии треугольника.