Всего: 115 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–115
Добавить в вариант
что сумма каждых 11 подряд идущих равна A или B. Пусть 
Заметим, что 
(иначе 
Значит, 
Поскольку 
Противоречие. Пример. Выберем 10 натуральных чисел с шагом 3, а одиннадцатое — дополняющее их сумму до 100 . Тогда ряд 
На доске
(В. Ковальджи)
не соседствуя. Петя сбегает с неё, а Вася, если может, возвращает эту фишку на диагональ, сохранив указанную ситуацию. Вася не сможет это сделать только тогда, когда фишки окажутся в одной или соседних линиях. Тогда Вася сделает такой ход, что фишки образуют доминошку. Ясно, что это возможно. После этого Вася будет сохранять доминошку, то есть повторять ход Пети другой фишкой. В конце концов, Петя первым выскочит на верхнюю или правую линию.
записать по целому числу так, чтобы число в каждой клетке равнялось количеству тех соседних с ней по стороне клеток, в которых написано такое же число?
Ясно, что это возможно. Тогда таблица разобьётся на квадраты 
домино 
и квадратики 
В квадраты впишем двойки, в домино - единицы, в квадратики — нули. Условие будет выполнено, поскольку фигурки одного вида не имеют общих сторон. 
и 
В больших окантовку заполним двойками. Оставшиеся полоски 
разобьём на чередующиеся доминошки (с единицами) и квадратики (с нулями). 
действительные числа так, чтобы среди всевозможных сумм чисел на парах соседних по стороне клеток встречались все целые числа от 1 до 
включительно (ровно по одному разу)?
и 
Аналогично строятся примеры для всех чётных (нечётных) N: в первом столбце реализуются все суммы от 1 до 
на стыке первого и второго столбцов — от N до 
во втором столбце — от 2N 
У Пети есть колода
(М. Евдокимов)
Петя закрашивает чёрным 18 клеток. Докажем, что Вася сможет выделить не менее 15 непересекающихся хороиих пар: в каждой паре две клетки разного цвета, находящиеся в одной строке или одном столбце. Назовём весом столбца количество чёрных клеток в нём. Сначала Вася рассматривает столбцы типа 2 (если они есть). Каждый из них, очевидно, разбивается на две хорошие пары.
то есть 
В тройке из столбца типа 4 и двух столбцов типа 1 Вася сможет выделить не менее пяти хороших пар клеток (см. рисунки). 
то на всей доске останется не более трёх нехороших пар, т. е. Вася (потеряет) не больше 3 очков.На доске написаны 2n последовательных целых чисел. За ход можно разбить написанные числа на пары произвольным образом и каждую пару чисел заменить на их сумму и разность (не обязательно вычитать из большего числа меньшее, все замены происходят одновременно). Докажите, что на доске больше никогда не появятся 2n последовательных чисел.
(А. Грибалко)
последовательных целых чисел 
нечётно) делится на 
но не делится на 
База 
Сумма двух последовательных квадратов нечётна, значит, сумма 
последовательных квадратов — сумма нечётного числа нечётных слагаемых, то есть нечётна. 
—
последовательных чисел. Тогда 
(первое — по предположению индукции). При этом первое слагаемое не делится 
Вернёмся к задаче. Заметим, что 
Следовательно, на каждом шаге сумма квадратов 
чисел на доске удваивается. По лемме она никогда не сможет являться суммой В первый день 2n школьников играли в пинг-понг «навылет»: сначала сыграли двое, затем победитель сыграл с третьим, победитель этой пары — с четвёртым и т. д., пока не сыграл последний школьник (ничьих в пинг-понге не бывает). Во второй день те же школьники разыграли кубок: сначала произвольно разбились на пары и сыграли в парах, проигравшие выбыли, а победители снова произвольно разбились на пары и сыграли в парах, и т. д. Оказалось, что наборы игравших пар в первый и во второй день были одни и те же (возможно, победители были другие). Найдите наибольшее возможное значение n.
(Б. Френкин)
победителях первого этапа. Он, очевидно, является путём лишь при 
в противном случае победитель турнира будет иметь степень не меньше 3. Значит, 
Пусть участники пронумерованы от 1 до 8 и пары в кубке таковы (первым указан проигравший, вторым победитель): 1−2, 3−4, 5−6, 7−8, 2−4, 6−8, 4−8. тогда при игре навылет пары могли быть такими (победитель снова указан вторым): 1−2, 2−4, 3−4, 4−8, 7−8, 8−6, 6−5 .Клетки доски 100 × 100 раскрашены в чёрный и белый цвета в шахматном порядке. Можно ли перекрасить ровно 2018 различных клеток этой доски в противоположный цвет так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце оказалось одно и то же количество чёрных клеток?
(Ю. Чеканов)
чёрных клеток; тогда в каждом столбце и в каждой строке перекрашено на k белых клеток больше, чем чёрных. Пусть в одном из чёрных квадратов перекрашено а клеток. По замечанию выше, в каждом из белых квадратов перекрашено по 
клеток, а тогда в другом чёрном квадрате также перекрашено 
клеток. Значит, общее число перекрашенных клеток равно 
аналогично сумма абсцисс также делится на 5050. В частности, эта сумма до и после перекраски была чётной, то есть изменилась на чётное число.
а 
делится на 4, поскольку как исходное, так и полученное количество чёрных клеток делится на 4. Значит, 
Имеется натуральное 1001-значное число A. Где 1001-значное число Z — то же число A, записанное от конца к началу (например, для четырёхзначных чисел это могли быть 7432 и 2347). Известно, что A > Z. При каком A частное 
будет наименьшим (но строго больше 1)?
Поскольку 
среди цифр 
есть хотя бы одна недевятка. Значит, 
Отсюда будет следовать, что 
что и даёт ответ. Имеем
и 
при 
Заметим, что 
Пусть j — наибольший индекс, при котором 
Тогда 
Пусть k — наименьший номер, для которого 
(тогда 
и 
ибо 
Рассмотрим произвольный оптимальный пример. Заменим первые и последние 
цифр на девятки. 
не изменится, Z не уменьшится, то есть наша дробь не увеличится. По этой же причине 
можно заменить на 9. Заменим 
на 9, а 
на 8. При этом 
на нули, а 
на девятки. Тогда 
(в первом просто меньше цифр), то, ясно, 
не возрастёт. Итак, можно считать, что A имеет вид 
и при этом же k достигается максимум значения рассматриваемых Z. Значит, это и есть ответ.Король вызвал двух мудрецов и объявил им задание: первый задумывает семь различных натуральных чисел с суммой 100, тайно сообщает их королю, а второму мудрецу называет лишь четвёртое по величине из этих чисел, после чего второй должен отгадать задуманные числа. У мудрецов нет возможности сговориться. Могут ли мудрецы гарантированно справиться с заданием?
и назовёт число 22. Тогда второй однозначно определит все числа, так как сумму 100 при этом можно получить лишь одним способом — взяв наименьшие возможные числа: 
и 25.В клетках квадратной таблицы n × n, где n > 1, требуется расставить различные целые числа от 1 до n2 так, чтобы каждые два последовательных числа оказались в соседних по стороне клетках, а каждые два числа, дающие одинаковые остатки при делении на n — в разных строках и в разных столбцах. При каких n это возможно?
(см. рис. 2). Нетрудно доказать, что они расставлены следующим образом: для нечётного столбца последнее (нижнее) число совпадает с первым числом следующего чётного столбца и вторым числом следующего нечётного. Значит, каждый столбец начинается с остатка i, равного своему номеру, кроме 
Есть 100 кучек по 400 камней в каждой. За ход Петя выбирает две кучки, удаляет из них по одному камню и получает за это столько очков, каков теперь модуль разности числа камней в этих двух кучках. Петя должен удалить все камни. Какое наибольшее суммарное количество очков он может при этом получить?
где ai — номера соответствующих камней.
ста двоек и ста единиц, причём ровно перед половиной этих чисел стоит знак минус. Назовём числа от 1 до 200 маленькими, а остальные — большими. Если бы разрешалось брать из кучек произвольные камни, то максимальное значение S, очевидно, достигается, когда все большие числа входят в S со знаком плюс, а все маленькие — со знаком минус. Такая сумма равна: 
В клетках квадратной таблицы n × n, где n > 1, требуется расставить различные целые числа от 1 до n2 так, чтобы каждые два последовательных числа оказались в соседних по стороне клетках, а каждые два числа, дающие одинаковые остатки при делении на n — в разных строках и в разных столбцах. При каких n это возможно?
Петя и Вася играют в игру. Для каждых пяти различных переменных из набора 
имеется единственная карточка, на которой записано их произведение. Петя и Вася по очереди берут по карточке, начинает Петя. По правилам игры, когда все карточки разобраны, Вася присваивает переменным значения как хочет, но так, что 
Может ли Вася гарантированно добиться того, чтобы сумма произведений на его карточках была больше, чем у Пети?
Тогда Вася может взять эту карточку, а дальше брать любые карточки. При 
то Вася может взять карточку, на которой написано 
а следующим ходом одну из карточек 
или 
(хотя бы одна из них останется, поскольку за ход Петя может взять только одну из этих двух карточек). Далее Вася может брать карточки как угодно.
он может присвоить переменным такие значения: 
и 
это произведение будет равно 100000000 , а для остальных не будет превосходить 1000 000. Таким образом, сумма у Васи будет не меньше 200000000 , а у Пети не больше 118000000 .
он может присвоить переменным такие значения:
и 
, 2n можно разбить на пары так, что если сложить числа в каждой паре и результаты перемножить, получится квадрат натурального числа.
из шестёрки — 
У Насти есть пять одинаковых с виду монет, среди которых три настоящие — весят одинаково — и две фальшивые: одна тяжелее настоящей, а вторая на столько же легче настоящей. Эксперт по просьбе Насти сделает на двухчашечных весах без гирь три взвешивания, которые она укажет, после чего сообщит Насте результаты. Может ли Настя выбрать взвешивания так, чтобы по их результатам гарантированно определить обе фальшивые монеты и указать, какая из них более тяжёлая, а какая более лёгкая?
С точностью до симметрии возможны четыре исхода. 
Тогда a — тяжёлая, d — лёгкая. 
Тогда c — тяжёлая, d — лёгкая. 
Тогда e — тяжёлая, d — лёгкая. 
Тогда c — тяжёлая, e — лёгкая.На острове живут рыцари, лжецы и подпевалы; каждый знает про всех, кто из них кто. В ряд построили всех 2018 жителей острова и попросили каждого ответить «Да» или «Нет» на вопрос: «На острове рыцарей больше, чем лжецов?». Жители отвечали по очереди и так, что их слышали остальные. Рыцари отвечали правду, лжецы лгали. Каждый подпевала отвечал так же, как большинство ответивших до него, а если ответов «Да» и «Нет» было поровну, давал любой из этих ответов. Оказалось, что ответов «Да» было ровно 1009. Какое наибольшее число подпевал могло быть среди жителей острова?
Требуется записать число вида 
используя только семёрки (их можно писать и по одной, и по нескольку штук подряд), причём разрешены только сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень, а также скобки. Для числа 77 самая короткая запись — это просто 77. А существует ли число вида которое можно записать по этим правилам, используя меньшее количество семёрок, чем в его десятичной записи?
а 9 — как 
В качестве n можно взять 77 или 14 = 7 + 7.
на 
можно обойтись без использования двузначных чисел.
или 
чтобы результат имел вид 3k − 2, и применим пункт а).