Клетки доски 100 × 100 раскрашены в чёрный и белый цвета в шахматном порядке. Можно ли перекрасить ровно 2018 различных клеток этой доски в противоположный цвет так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце оказалось одно и то же количество чёрных клеток?
(Ю. Чеканов)
Решение 1. Ясно, что строки доски можно переставлять как угодно, и столбцы тоже. Переставим все нечётные столбы влево, а вое нечётные строки вниз. В итоге из исходной доски получится доска, разделённая на 4 одинаковых квадрата — два противоположных из них белые, а остальные чёрные.
Пусть после перекраски в каждой строке и каждом столбце оказалось по 
чёрных клеток; тогда в каждом столбце и в каждой строке перекрашено на k белых клеток больше, чем чёрных. Пусть в одном из чёрных квадратов перекрашено а клеток. По замечанию выше, в каждом из белых квадратов перекрашено по 
клеток, а тогда в другом чёрном квадрате также перекрашено 
клеток. Значит, общее число перекрашенных клеток равно
то есть оно делится на 4 и потому не может равняться 2018.
Решение 2. Пронумеруем строки снизу вверх, а столбы справа налево, числами от 1 до 100 (пусть левая нижняя клетка чёрная). Тогда у каждой чёрной клетки чётная сумма координат, a у каждой белой — нечётная.
Рассмотрим сумму координат всех чёрных клеток (до или после перекраски). Поскольку в каждой строке их поровну, сумма их ординат делится на 
аналогично сумма абсцисс также делится на 5050. В частности, эта сумма до и после перекраски была чётной, то есть изменилась на чётное число.
С другой стороны, при перекраске исходно чёрной клетки в белый цвет наша сумма чётности не меняла, а при перекраске исходно белой в чёрный — меняла. Это значит, что было перекрашено чётное количество белых клеток.
Пусть w и b — количества перекрашенных исходно белых и исходно чёрных клеток, соответственно. Тогда 
а 
делится на 4, поскольку как исходное, так и полученное количество чёрных клеток делится на 4. Значит,
нечётное число. Противоречие.
Ответ: нет.