РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 7060 Добавить в вариант

Найдите все натуральные n, удовлетворяющие условию: числа 1, 2, 3, $\ldots$ , 2n можно разбить на пары так, что если сложить числа в каждой паре и результаты перемножить, получится квадрат натурального числа.

Спрятать решение

Решение.

1–й способ. Разобьём эти числа на четвёрки подряд идущих, и, если надо, шестёрку первых чисел. Из четвёрок образуем $левая круглая скобка a плюс левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a плюс 2 правая круглая скобка правая круглая скобка = левая круглая скобка 2 a плюс 3 правая круглая скобка в квадрате ,$ из шестёрки  — $левая круглая скобка 1 плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 плюс 6 правая круглая скобка =18 в квадрате .$

2–й способ. Если n чётно, то

$левая круглая скобка 1 плюс 2 n правая круглая скобка левая круглая скобка 2 плюс левая круглая скобка 2 n минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка \ldots левая круглая скобка n плюс левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка = левая круглая скобка 2 n плюс 1 правая круглая скобка в степени n$

является квадратом. Если n нечётно, то

$левая круглая скобка 1 плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 плюс 6 правая круглая скобка левая круглая скобка 7 плюс 2 n правая круглая скобка левая круглая скобка 8 плюс левая круглая скобка 2 n минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка \ldots левая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 3 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка n плюс 4 правая круглая скобка правая круглая скобка =18 в квадрате левая круглая скобка 2 n плюс 7 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n минус 3 правая круглая скобка$

является квадратом.

Замечание. Для n  =  2, 3 разбиение единственно, в остальных случая  — нет.

Ответ: все $n больше 1.$

Турнир городов, 8, 9 класс, Осенний тур, 2019 год

Классификатор: Разное. Разбиения на пары и группы

Спрятать решение · Помощь