Лемма. Сумма квад­ра­тов по­сле­до­ва­тель­ных целых чисел нечётно) де­лит­ся на но не де­лит­ся на

До­ка­за­тель­ство. Ин­дук­ция по База Сумма двух по­сле­до­ва­тель­ных квад­ра­тов нечётна, зна­чит, сумма по­сле­до­ва­тель­ных квад­ра­тов  — сумма нечётного числа нечётных сла­га­е­мых, то есть нечётна.

Шаг ин­дук­ции. Пусть   — пер­вые n из по­сле­до­ва­тель­ных чисел. Тогда

Каж­дое из трёх сла­га­е­мых де­лит­ся на (пер­вое  — по пред­по­ло­же­нию ин­дук­ции). При этом пер­вое сла­га­е­мое не де­лит­ся на а осталь­ные два де­лят­ся.

За­ме­ча­ние. Дру­гое до­ка­за­тель­ство леммы можно по­лу­чить, вос­поль­зо­вав­шись фор­му­лой для суммы квад­ра­тов на­ту­раль­ных чисел от 1 до Вернёмся к за­да­че. За­ме­тим, что Сле­до­ва­тель­но, на каж­дом шаге сумма квад­ра­тов чисел на доске удва­и­ва­ет­ся. По лемме она ни­ко­гда не смо­жет яв­лять­ся сум­мой по­сле­до­ва­тель­ных квад­ра­тов.