РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 6841 Добавить в вариант

Какое наибольшее количество различных целых чисел можно выписать в ряд так, чтобы сумма каждых 11 подряд идущих чисел равнялась 100 или 101?

(Е. Бакаев)

Спрятать решение

Решение.

Оценка. Предположим, что получилось выписать такие различные числа $x_1, \ldots, x_23,$ что сумма каждых 11 подряд идущих равна A или B. Пусть $S_k=x_k плюс \ldots плюс x_k плюс 10 .$ Заметим, что $S_k не равно q S_k плюс 1$ (иначе $x_k=x_k плюс 11 правая круглая скобка .$ Значит, $S_k=S_k плюс 2.$ Поскольку

$x_1 плюс S_2 плюс S_13=S_1 плюс S_12 плюс x_23,$

то $x_1=x_23.$ Противоречие. Пример. Выберем 10 натуральных чисел с шагом 3, а одиннадцатое  — дополняющее их сумму до 100 . Тогда ряд

$x_1, \ldots, x_11, x_1 плюс 1, x_2 минус 1, x_3 плюс 1, x_4 минус 1, \ldots, x_11 плюс 1$

будет искомым. Например, так: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, −35, 1, 2, 7, 8, 13,14, 19, 20, 25, 26, −34.

Ответ: 22 числа.

Турнир городов, 8, 9 класс, Весенний тур, 2020 год

Классификатор: Алгебра: числа. Разные вопросы о целых числах

Спрятать решение · Помощь