РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 7057 Добавить в вариант

Петя и Вася играют в игру. Для каждых пяти различных переменных из набора $x_1, ..., x_10$ имеется единственная карточка, на которой записано их произведение. Петя и Вася по очереди берут по карточке, начинает Петя. По правилам игры, когда все карточки разобраны, Вася присваивает переменным значения как хочет, но так, что $0 меньше или равно x_1 меньше или равно ... меньше или равно x_10.$ Может ли Вася гарантированно добиться того, чтобы сумма произведений на его карточках была больше, чем у Пети?

Спрятать решение

Решение.

Покажем, как может действовать Вася, чтобы сумма произведений на его карточках была больше, чем у Пети.

Допустим, Петя не взял карточку, на которой написано $x_6 умножить на x_7 умножить на x_8 умножить на x_9 умножить на x_10.$ Тогда Вася может взять эту карточку, а дальше брать любые карточки. При

$x_1=x_2=x_3=x_4=x_5=0$

$x_6=x_7=x_8=x_9=x_10=1$

сумма произведений у Пети будет равна 0, а у Васи будет равна 1 .

Если Петя сразу же взял карточку, на которой написано $x_6 x_7 x_8 x_9 x_10,$ то Вася может взять карточку, на которой написано $x_5 x_7 x_8 x_9 x_10,$ а следующим ходом одну из карточек $x_4 x_7 x_8 x_9 x_10$ или $x_5 x_6 x_8 x_9 x_10$ (хотя бы одна из них останется, поскольку за ход Петя может взять только одну из этих двух карточек). Далее Вася может брать карточки как угодно.

В случае, если Вася взял карточку $x_4 x_7 x_8 x_9 x_10,$ он может присвоить переменным такие значения:

$x_1=x_2=x_3=0,$

или

$x_4=x_5=x_6=1,$

или $x_7=x_8=x_9=x_10=100.$

Тогда только на двадцати одной карточке окажется ненулевое произведение, причём для трёх карточек $x_4 x_7 x_8 x_9 x_10, x_5 x_7 x_8 x_9 x_10$ и $x_6 x_7 x_8 x_9 x_10$ это произведение будет равно 100000000 , а для остальных не будет превосходить 1000 000. Таким образом, сумма у Васи будет не меньше 200000000 , а у Пети не больше 118000000 .

В случае, если Вася взял карточку $x_5 x_6 x_8 x_9 x_10,$ он может присвоить переменным такие значения:

$x_1=x_2=x_3=x_4=0,$

или

$x_5=x_6=x_7=1,$

или $x_8=x_9=x_10=10.$

Тогда только на шести карточках окажется ненулевое произведение, причём для трёх карточек $x_5 x_6 x_8 x_9 x_10, x_5 x_7 x_8 x_9 x_10$ и $x_6 x_7 x_8 x_9 x_10$ это произведение будет равно 1000 , а для остальных трёх будет равно 100. Таким образом, сумма у Васи будет не меньше 2000, а у Пети не больше 1300.

Ответ: да.

Турнир городов, 11, 10 класс, Весенний тур, 2019 год

Классификатор: Разное. Игры и стратегии

Спрятать решение · Помощь