РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Поиск
?

в условии в решении в тексте к заданию в атрибутах
Скопировать ссылку на результаты поиска
Класс: 10 11 5 6 7 8 9
Атрибут

Всего: 47 1–20 | 21–40 | 41–47

Добавить в вариант

Тип 21 № 9333 Добавить в вариант

Какое максимальное количество подмножеств из 4 элементов можно выбрать во множестве из 8 элементов так, чтобы пересечение любых трёх из выбранных подмножеств содержало не более одного элемента?

Решение.

Приведём два различных примера выбора восьми 4-х элементных подмножеств во множестве X из восьми элементов, удовлетворяющих условию задачи. Оба примера строятся, как геометрические объекты.

Пример 1. Будем считать элементы X вершинами единичного куба, шесть из выбранных множеств будут гранями этого куба, а оставшиеся два вершинами двух вписанных в этот куб правильных тетраэдров с ребром $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$ Никакие две вершины этих тетраэдров не лежат на одном ребре куба. Если среди любых трёх из выбранных подмножеств содержатся оба тетраэдра, либо две параллельных грани, пересечение пусто. Если это две смежных грани и тетраэдр, то пересечение граней даст ребро, которое пересекается с тетраэдром ровно по одной вершине. Если это три попарно смежных грани, то их пересечение содержит единственную вершину вершину трёхгранного угла, образуемого этими гранями.

Пример 2. Будем считать элементы X вершинами правильного восьмиугольника. Занумеруем его вершины по часовой стрелке от 1 до 8, отметим четырёхугольник M c вершинами под номерами 1, 2, 3, 5. Выбранными подмножествами будем считать M и ещё семь четырёхугольников, получаемых из M поворотами на углы $дробь: числитель: 2 Пи k, знаменатель: 8 конец дроби , k = 1, 2, \ldots, 6, 7.$ Если бы пересечение каких-то трёх из них содержало не меньше двух вершин, то есть некоторую сторону или диагональ восьмиугольника, отличную от главных, то, повернув все эти три четырёхугольника обратно до совмещения с M, получим три различных отрезка одинаковой длины, соединяющие вершины М. Последнее невозможно, потому, что длины сторон и диагоналей M, измеренных в сторонах, равны 1, 1, 2, 2, 3, 4, среди них не более двух равных. Если речь идёт о главной диагонали длины 4, то очевидно, что она содержится только в двух из восьми рассматриваемых четырёхугольниках.

Докажем, что, если в 8-ми элементном множестве X произвольно выбраны девять 4-х элементных подмножеств, то пересечение некоторых трёх из них содержит больше одного элемента. Сумма мощностей выбранных подмножеств равна 36, поэтому один из элементов X, обозначим его за x, содержится не менее, чем в $k больше или равно 5$ из них. Удалим из этих k подмножеств x и рассмотрим $k больше или равно 5$ полученных 3-ёх элементных подмножеств в 7-элементном множестве Y, равном X без x. Сумма мощностей полученных множеств больше, либо равна 15, поэтому один из элементов Y, обозначим его за y, содержится не менее, чем в трёх из k полученных 3-ёх элементных множеств. Следовательно, пара элементов $\boldsymbolx$ и y содержится не менее, чем в трёх из девяти выбранных 4-х элементных подмножеств из X.

Ответ: восемь.

Решение · Критерии · Помощь

Тип 21 № 9409 Добавить в вариант

Рассмотрим синтез некоторого разветвленного полимера, в котором к центральному звену A на первом этапе присоединяется три мономерных звена В. На всех последующих этапах к звену В может присоединяться два новых звена, равновероятно, либо В, либо С, а к звену С может присоединяться только звено С. Присоединение возможно только к звеньям, присоединившимся на предыдущем этапе синтеза.

1.  Выведите зависимость общего числа звеньев в и общего числа звеньев С в зависимости от числа этапов синтеза.

2.  До какого номера этапа включительно доля звеньев в среди всех звеньев, составляющих полимер, будет больше 5%? При расчете доли звеньев В в полимере наличием центрального звена А пренебречь.

Решение.

1.  Рассмотрим синтез полимера поэтапно.

Этап 1: как описано в условии, к центральному звену А присоединяется три звена В. Общее число звеньев каждого типа при этом N_B1  =  3, N_C1  =  0.

Этап 2: к трем звеньям В, присоединенным на этапе 1, присоединяется 6 новых звеньев, 3 звена В и 3 звена С. Общее число звеньев каждого типа при этом $N_ B 2 = 3 плюс 3 = 6,$ $N_ C 2 = 0 плюс 3 = 3.$

Этап 3:

—  к трем звеньям В, присоединенным на этапе 2, присоединяется 6 новых звеньев, 3 звена В и 3 звена С;

—  к 3 звеньям С, присоединенным на этапе 2, присоединяются еще 3 звена С.

Общее число звеньев каждого типа при этом $N_ B 3 = 6 плюс 3 = 9$ и $N_ C 3 = 3 плюс левая круглая скобка 3 плюс 3 правая круглая скобка = 9.$

Всего на третьем этапе присоединяется $M_3 = 3 плюс 6 = 3 умножить на 3 = 9 \text звеньев.$

Этап 4:

—  к трем звеньям В, присоединенным на этапе 3, присоединяется 6 новых звеньев, 3 звена В и 3 звена С;

—  к шести звеньям С, присоединенным на этапе 3, присоединяются еще 6 звеньев C. Общее число звеньев каждого типа при этом

$N_ B 4 = 9 плюс 3 = 12,$ $N_ C 4 = 9 плюс левая круглая скобка 3 плюс 6 правая круглая скобка = 18 .$

Всего на четвертом этапе присоединяется

$M_4 = 3 плюс 9 = 3 умножить на 4 = 12 \text звеньев.$

Этап n:

—  к трем звеньям В, присоединенным на этапе n – 1, присоединяется 6 новых звеньев, 3 звена В и 3 звена С;

—  всего на этапе присоединяется M_n  =  3n звеньев;

—  таким образом, общее число звеньев С, присоединенных на данном этапе, равно $M_n минус 3 = 3 n минус 3$ (разность общего числа звеньев и числа звеньев B).

Общее число звеньев каждого типа при этом N_Bn  =  3n,

$N_ Cn = \sum_1 в степени n левая круглая скобка 3 k минус 3 правая круглая скобка = 3 \sum_1 в степени n k минус 3 n = дробь: числитель: 3 n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби минус 3 n = 1,5 n левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка .$

2.  Доля звеньев В на n-м этапе синтеза равна:

$\omega = дробь: числитель: N_B n, знаменатель: N_B n плюс N_C B n конец дроби = дробь: числитель: 3 n, знаменатель: 1,5 n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: n плюс 1 конец дроби .$

Составим неравенство:

$дробь: числитель: 2, знаменатель: n плюс 1 конец дроби больше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 100 конец дроби равносильно n плюс 1 меньше или равно дробь: числитель: 200, знаменатель: 5 конец дроби равносильно n меньше или равно 40 минус 1 равносильно n меньше или равно 39 ,$

то есть n  =  39.

Решение · Критерии · Помощь

Тип 21 № 9410 Добавить в вариант

Липосомы  — сферические «пузырьки», заполненные жидкостью, стенки которых состоят из липидов. Для получения липосом в две одинаковые колбы с водой объемом V₀  =  100 мл добавили по V_L  =  0,2 мл некоторого липида. После обработки ультразвуком в первой колбе образовались липосомы радиуса R₁  =  40 нм, а во второй  — R₂  =  80 нм.

Рассчитайте объемную долю липосом в первой ω₁(%) и во второй ω₂(%) колбе, а также соотношение этих объемных долей, если толщина стенок липосом составляет d  =  4 нм (см. рис.). При расчетах считать π  =  3,1.

Решение · Помощь

Тип 21 № 9411 Добавить в вариант

Рассмотрим развертку A (рис. 1), отвечающую некоторому фуллерену X все пятиугольники в котором сгруппированы попарно. Края такой развертки перпендикулярны ребрам шестиугольников.

Рис. 1. Развертка фуллерена X на графеновой плоскости. Более темным цветом отмечены области, формирующие пятиугольники.

1.  Из скольких атомов углерода состоит X? Сколько шестиугольников в его структуре?

Если А вырезать по контуру и склеить по линиям разреза, то получится многогранник Y, y которого имеется два типа граней (треугольные и шестиугольные) и два типа ребер: тип I принадлежащие только шестиугольным граням многогранника Y и тип II  — общие как для треугольных, так и для шестиугольных граней.

2.  Чему равно число граней и ребер каждого из типов в Y? Усечением какого Платонова тела он может быть получен?

3.  Какой многогранник получится, если соединить между собой середины ребер I типа?

Рассмотрим ряд фуллеренов, каждый из которых можно представить на графеновой плоскости в виде развертки, отличающейся от А только длиной ребер II типа. Эти развертки можно однозначно задать, определив пару чисел (n, m), отвечающую такому ребру (рис. 2).

Рис. 2. Взаимное расположение пары шестиугольников (отмечены точками О и Х) на графеновом листе описывается двумя целыми неотрицательными числами (n, m) которые являются координатами центра одного из шестиугольников относительно центра другого в «скошенной» системе координат. На рисунке приведен пример для (4, 3).

4.  Выведите зависимость общего числа атомов N в фуллеренах этого ряда от (n, m).

5.  Установите (n, m) для фуллерена X.

6.  Рассчитайте N для самого маленького фуллерена этого ряда.

Фуллерен  — каркасная углеродная молекула, которую можно представить как выпуклый многогранник, состоящий из правильных пяти- и шестиугольников, в вершинах которого сходятся по три ребра.

Решение.

1.  Число вершин в многограннике, отвечающем фуллерену X:

4 · 22 (шестиугольник в A) + 4 · 9 (треугольник в A)  =  124.

Число шестиугольных граней в многограннике, отвечающем фуллерену X:

$4 умножить на левая круглая скобка 6 плюс дробь: числитель: 6, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка \text шестиугольник в A правая круглая скобка плюс 4 умножить на левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: 6, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка \text треугольник в A правая круглая скобка = 52 .$

2.  Многогранник Y имеет форму усеченного тетраэдра. У него

—  4 треугольных грани (образованы на месте отсечения вершин «исходного» тетраэдра),

—  4 шестиугольных грани (образованы на месте граней «исходного» тетраэдра),

—  6 ребер типа I (ребра «исходного» тетраэдра),

—  12 ребер типа II (ребра, образовавшиеся при формировании треугольных граней).

3.  В многограннике Y шесть ребер типа І расположены в пространстве симметрично. При соединении центров этих ребер образуется многогранник, имеющий 6 вершин, 8 правильных треугольных граней и 12 ребер  — это октаэдр.

4.  По условию, развертка любого фуллерена из рассматриваемого ряда задается парой чисел, определяющих взаимное расположение концов ребер второго типа. Рассматривая рисунок 1 условия, можно установить, что любое такое ребро можно задать парой (n, 0), поскольку, исходя из ориентации развертки относительно графеновых шестиугольников, один из параметров для него всегда равен 0.

Анализируя рисунок 1 условия, можно установить, что на треугольную грань многогранника Y приходится

$N}_3} левая круглая скобка n} правая круглая скобка = \sum_1 в степени n левая круглая скобка 2 k минус 1 правая круглая скобка = n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка минус 1 = n} в квадрате \text атомов углерода.$

Рассматривая шестиугольную грань Y как треугольник со стороной (n + 2) атомов углерода, у которого отсекли три малых треугольника со стороной (1, 0), получаем общую зависимость

$N} левая круглая скобка n, 0 правая круглая скобка = 4 умножить на N}_6 левая круглая скобка n} правая круглая скобка плюс 4 умножить на N}_3 левая круглая скобка n} правая круглая скобка = 4 умножить на левая круглая скобка N}_3 левая круглая скобка n} плюс 2 правая круглая скобка минус 3 умножить на N}_3 левая круглая скобка 1 правая круглая скобка правая круглая скобка плюс 4 умножить на N}_3 левая круглая скобка n} правая круглая скобка .$

Подставляя полученное ранее выражение для N₃(n), получаем

$N левая круглая скобка n, 0 правая круглая скобка = 4 умножить на левая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка в квадрате минус 3 умножить на 1 в квадрате правая круглая скобка плюс 4 умножить на n в квадрате = 4 умножить на левая круглая скобка 2 n в квадрате плюс 4 n плюс 1 правая круглая скобка = 8 n в квадрате плюс 16 n плюс 4$

5.  (3, 0).

6.  Самым маленьким членом рассматриваемого ряда будет фуллерен, задаваемый парой (1, 0):

$N} левая круглая скобка 1,0 правая круглая скобка =8 плюс 16 плюс 4=28 .$

Решение · Критерии · Помощь

Тип 21 № 9412 Добавить в вариант

Главное зеркало крупнейшего космического телескопа «Джеймс Уэбб» является сегментированным и состоит из отдельных зеркал, имеющих форму правильных шестиугольников (см. рис.).

1.  Рассчитайте диаметр окружности, описанной вокруг главного зеркала, если длина стороны сегмента составляет 76 см.

2.  Сколько грамм золота понадобилось для покрытия всей площади главного зеркала, если каждый из его сегментов покрыт слоем металла толщиной 100 нм? Оцените диаметр золотого слитка в форме шара, имеющего данную массу.

Плотность золота равна 19,25 г/см³, кривизной зеркал при расчетах пренебречь.

Решение · Критерии · Помощь

Тип 21 № 9413 Добавить в вариант

1.  Рассчитайте число атомов металла в нанокластере, если известно, что:

—  томы в нем упакованы так, как показано на рисунке, в форме правильной четырехугольной призмы;

—  его высота составляет x атомов, а длина ребра квадратного основания у атомов;

—  все атомы основания можно без остатка разложить на два квадратных нанокластера, на стороны которых приходится x + 1 и 2x + 1 атомов металла, соответственно;

—  y атомов ребра основания также можно разложить без остатка на два квадратных нанокластера, на стороны которых приходится а и b атомов металла, соответственно;

—   $a плюс b = 5.$

2.  Является ли полученный ответ единственным? Ответ подтвердите расчетом.

Решение · Критерии · Помощь

Тип 21 № 9414 Добавить в вариант

На рисунке представлена развертка некоторого фуллерена на графеновой плоскости (голубым цветом отмечены области, формирующие пятиугольники этого фуллерена, серым шестиугольники).

1.  Из скольких атомов углерода состоит его каркас? Сколько шестиугольников имеется в его структуре? Если представленную на рисунке развертку вырезать по контуру, а затем сложить по выделенным линиям и склеить по линиям разреза, то получится многогранник.

2.  В вершинах какого многогранника лежат центры пятиугольников?

3.  Оцените размер фуллерена как диаметр описанной вокруг него сферы, если длина связи С—С составляет 0,14 нм. Атомы считать точечными, фрагменты графенового листа, формирующие грани развертки  — плоскими.

Решение · Критерии · Помощь

Тип 21 № 9415 Добавить в вариант

Для упрощенного моделирования эпидемии может быть использована дискретная модель неограниченного роста, основанная на следующих допущениях и упрощениях:

—  все время наблюдения за заболеваемостью делится на дискретные отрезки длиной T дней, называемые периодами заражения;

—  в рамках каждого периода заражения болеющими и заразными являются только те люди, которые были заражены в предыдущем периоде;

—  каждый болеющий за время T заражает R человек, и выздоравливает по окончании этого периода.

В рамках этой модели рассмотрим эпидемию, при которой циркулируют одновременно два штамма вируса, А и Б. Оцените, через какое время число болеющих штаммом Б превысит число болеющих штаммом А в 10 раз, если в начальный момент наблюдения соотношение болеющих А и Б составляет 10 к 1, R_Б  =  5, R_А  =  4, а T  =  6 дней?

Решение · Помощь

Тип 21 № 9416 Добавить в вариант

Рис. 1. Углеродную нанотрубку (УНТ) можно задать одной парой шестиугольников на листе графена, для чего необходимо через центры этих шестиугольников (точки O и X, взаимное расположение которых в «скошенной» системе координат задается двумя целыми неотрицательными числами, n и m  — индексами хиральности) прочертить линии разреза, перпендикулярные отрезку OX, вырезать по ним полоску графена и затем соединить ее края. Здесь приведен пример для «выкройки» трубки с n  =  4 и m  =  3.

Рассмотрим УНТ диаметром от 2 нм до 3 нм.

1.  Чему равны минимальное и максимальное значения n для этих УНТ?

2.  На любом языке программирования напишите программу, которая позволит найти общее число УНТ N, удовлетворяющее условию. Приведите ее текст. Найдите N при помощи программы.

Считать, что

—  длина связи С—С равна 0,14 нм,

—  диаметром УНТ является диаметр цилиндра, «склеенного» из ленты шириной ох,

—  УНТ (n, m) и УНТ (m, n).

—  одна и та же трубка.

Решение.

1.  1)  Найдем, взаимосвязь между диаметром и индексами хиральности, (n, m). По условию, отрезок ОХ равен длине окружности УНТ, следовательно, ее диаметр можно найти по формуле $D = дробь: числитель: OX, знаменатель: Пи конец дроби .$ В свою очередь, длина отрезка ОХ, по теореме косинусов, составляет

$O X в квадрате = левая круглая скобка n r правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка m r правая круглая скобка в квадрате минус 2 n r умножить на m r умножить на косинус левая круглая скобка 120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка =r в квадрате левая круглая скобка n в квадрате плюс m в квадрате минус 2 n m левая круглая скобка минус 0,5 правая круглая скобка правая круглая скобка =r в квадрате левая круглая скобка n в квадрате плюс n m плюс m в квадрате правая круглая скобка ,$

где r  — длина единичного отрезка, равного расстоянию между центрами соседних шестиугольников:

$r = 2 a косинус левая круглая скобка 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка = a корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента = 0,14 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Следовательно, диаметр УНТ можно рассчитать по формуле

$D= дробь: числитель: 0,14 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: Пи конец дроби корень из: начало аргумента: n в квадрате плюс nm плюс m в квадрате конец аргумента = 0,077186 корень из: начало аргумента: n в квадрате плюс nm плюс m в квадрате конец аргумента .$

То есть,

$n в квадрате плюс n m плюс m в квадрате = левая круглая скобка дробь: числитель: D, знаменатель: 0,077186 конец дроби правая круглая скобка в квадрате .$

Тогда D  =  2 нм, $n в квадрате плюс n m плюс m в квадрате =671,4$ и D  =  3 нм, $n в квадрате плюс n m плюс m в квадрате =1510,6 .$ Таким образом, все значения пар (n, m) (таких, что $n больше или равно m правая круглая скобка ,$ должны удовлетворять условию

$672 меньше или равно n в квадрате плюс n m плюс m в квадрате меньше или равно 1510.$

2)  Минимальное значение индекса n соответствует случаю m  =  n (для одного и того же диаметра УНТ величина индексов хиральности тем меньше, чем ближе их значения друг к другу) и $n в квадрате плюс n m плюс m в квадрате больше или равно 672$ (минимальный диаметр): $n в квадрате плюс n умножить на n плюс n в квадрате больше или равно 672,$ то есть $n больше или равно 14,97.$ Тогда $n_\min =15 .$

3)  Максимальное значение индекса n соответствует случаю m  =  0 (для одного и того же диаметра УНТ величина одного из индексов хиральности тем больше, чем ближе значение второго к нулю) и $n в квадрате плюс n m плюс m в квадрате меньше или равно 1510$ (максимальный диаметр): $n в квадрате плюс n умножить на 0 плюс 0 в квадрате меньше или равно 1510,$ следовательно, $n меньше или равно 38,86,$ тогда $n_\max = 38 .$

2.  Очевидно, что нахождения всех пар индексов хиральности (n, m), удовлетворяющих условию, необходимо осуществить перебор всех возможных значений выражения $n в квадрате плюс nm плюс m в квадрате$ в цикле по n от n_min до n_max и во вложенном цикле по m от 0 до n, и посчитать, сколько из них удовлетворяют условию $672 меньше или равно n в квадрате плюс nm плюс m в квадрате меньше или равно 1510.$

Текст программы на языке Pascal:

Всего 264 УНТ.

Решение · Критерии · Помощь

Тип 21 № 9417 Добавить в вариант

Рис. 1

Американскими учеными был синтезирован полый кластер In_xCd_yS_z, имеющий форму сложенного из тетраэдров MS₄ тетрикса (тетраэдра Серпинского), схематично представленную на рис. 1 (синим цветом обозначены тетраэдры MS₄, для которых M  =  In, красным  — M  =  Cd).

1.  Определите значения n и m (смотри подсказку) для тетрикса, отвечающего приведенному на рисунке кластеру In_xCd_yS_z, в котором все атомы Cd заменены на In.

2.  Установите состав этого кластера исходя из принципа его построения.

Рис. 2. Единичный тетраэдр MS₄

Рис. 3. Супертетраэдр T5

Рис. 4. Тетраэдр Серпинского S3(T2)

Желтыми сферами отмечены центральная полость кластера, а также еще четыре

полости, следующие за ней по размеру.

Подсказка.

Супертетраэдр Tn поколения n (где n  — число единичных тетраэдров, приходящееся на ребро Tn)  — это структура в форме тетраэдра, составленного из единичных тетраэдров (рис. 2), пересекающихся по вершинам (рис. 3). Если единичные тетраэдры представлены MS₄, то состав такого супертетраэдра будет отвечать формуле $M_ дробь: числитель: n в кубе плюс 3 n в квадрате плюс 2 n, знаменатель: 6 конец дроби S_ дробь: числитель: n в кубе плюс 6 n в квадрате плюс 11 n плюс 6, знаменатель: 6 конец дроби .$

Тетраэдр Серпинского SmTn поколения m (где m  — общее число шагов усложнения структуры)  — это структура, имеющая иерархическую организацию (рис. 4): на первом шаге для построения S1(Tn) четыре Tn складываются в форме супертетраэдра второго поколения, на втором шаге, для построения S1(Tn), уже четыре S1(Tn) аналогично складываются в форме супертетраэдра второго поколения, и так далее.

Решение.

1.  Единичные тетраэдры, содержащие Cd в центре, заполняют центральные полости четырех S1(T2), дополняя их до T4, то есть, всю структуру полого кластера In_xCd_yS_z.

2.  1) Обозначим общее число атомов металла в супертетраэдре как N_M атомов S  — N_s. Выведем зависимость общего числа атомов M и S в зависимости от номера поколения супертетраэдров n формирующих тетрикс, а также от номера поколения последнего.

При переходе от поколения к поколению в Sm(Tn) количество атомов M в тетриксе (N_MT) каждый раз увеличивается в 4 раза (исходя из принципов построения), следовательно,

$N_M T левая круглая скобка m, n правая круглая скобка = 4 в степени левая круглая скобка m правая круглая скобка N_M левая круглая скобка n правая круглая скобка = дробь: числитель: 4 в степени левая круглая скобка m правая круглая скобка левая круглая скобка n в кубе плюс 3 n в квадрате плюс 2 n правая круглая скобка , знаменатель: 6 конец дроби .$

В то же время, число атомов S в тетриксе (N_ST) при переходе от поколения к поколению в Sm, с одной стороны, увеличивается в 4 раза, а с другой необходимо учитывать, что в точках касания супертетраэдры имеют общие атомы S, по одному на каждом из ребер Sm: $N_s t левая круглая скобка 1, n правая круглая скобка =4 N_s левая круглая скобка n правая круглая скобка минус 6.$

Повторяя рассуждения, получаем

$N_S T левая круглая скобка 2, n правая круглая скобка =4 N_S T левая круглая скобка 1, n правая круглая скобка минус 6=4 левая круглая скобка 4 N_S левая круглая скобка n правая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка минус 6,$

$N_S T левая круглая скобка 3, n правая круглая скобка =4 N_S T левая круглая скобка 2, n правая круглая скобка минус 6=4 левая круглая скобка 4 левая круглая скобка 4 N_S левая круглая скобка n правая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка минус 6,$

$\ldots$

$N_S T левая круглая скобка m, n правая круглая скобка = 4 в степени левая круглая скобка m правая круглая скобка N}_s левая круглая скобка n правая круглая скобка минус 6 \sum_0 в степени левая круглая скобка m правая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка i минус 1 правая круглая скобка = 4 в степени левая круглая скобка m правая круглая скобка N_s левая круглая скобка n правая круглая скобка минус дробь: числитель: 6 левая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка m правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: 3 конец дроби =4 в степени левая круглая скобка m правая круглая скобка левая круглая скобка N_s} левая круглая скобка n правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка плюс 2,$

$N_S T левая круглая скобка m, n правая круглая скобка = дробь: числитель: 4 в степени m левая круглая скобка n в кубе плюс 6 n в квадрате плюс 11 n плюс 6 правая круглая скобка , знаменатель: 6 минус 2 конец дроби плюс 2 = дробь: числитель: 4 в степени m левая круглая скобка n в кубе плюс 6 n в квадрате плюс 11 n минус 6 правая круглая скобка , знаменатель: 6 плюс 2 конец дроби .$

2)  Единичные тетраэдры, содержащие In в центре, образуют тетрикс S2(T2):

$x=N_\lnT левая круглая скобка 2, 2 правая круглая скобка =4 в квадрате N_ натуральный логарифм левая круглая скобка 2 правая круглая скобка =16 умножить на дробь: числитель: 2 в кубе плюс 3 умножить на 2 в квадрате плюс 2 умножить на 2, знаменатель: 6 конец дроби = 64.$

3)  Тогда

$y = N_ левая круглая скобка натуральный логарифм плюс Cd правая круглая скобка T левая круглая скобка 1,4 правая круглая скобка минус N_\lnT левая круглая скобка 2,2 правая круглая скобка = 4 умножить на N_ левая круглая скобка натуральный логарифм плюс Cd правая круглая скобка T левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус x = дробь: числитель: 4 умножить на левая круглая скобка 4 в кубе плюс 3 умножить на 4 в квадрате плюс 2 умножить на 4 правая круглая скобка , знаменатель: 6 конец дроби минус 64=16 .$

4)  Общее число атомов S в S1(T4), соответственно, равно

$z = N_ ST левая круглая скобка 1,4 правая круглая скобка = дробь: числитель: 4 левая круглая скобка 4 в кубе плюс 6 умножить на 4 в квадрате плюс 11 умножить на 4 минус 6 правая круглая скобка , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2=134 .$

Таким образом, In₆₄Cd₁₆S₁₃₄.

Решение · Помощь

Тип 21 № 9418 Добавить в вариант

Рассмотрим каркасную структуру, наверняка знакомую Вам по игровой площадке во дворе (см. рис.).

1.  Если мысленно «достроить" ее до высокосимметричного выпуклого многогранника X так, что вершины, в которых сходится по 5 ребер, будут вершинами икосаэдра, то сколько вершин ребер и граней будет в X?

2.  Если построить новый многогранник Y так, чтобы его вершины лежали в центрах треугольников X, будет ли Y отвечать какому-либо фуллерену? Если да, то какому? Ответ обоснуйте.

3.  «Удалим» из X все вершины, в которых сходится по 5 ребер (получим многогранник $X в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка правая круглая скобка .$ Можно ли из $X в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ дополнительно «изъять» вершины так, чтобы итоговый многогранник Z отвечал фуллерену? Свой ответ обоснуйте. Во сколько раз число вершин Z будет отличатся от числа вершин Y?

Решение.

Вершины многогранника X, в которых сходится по пять ребер (одновременно являются вершинами икосаэдра), образуют треугольники, каждый из которых составлен из 9 малых треугольников  — граней X. Всего в икосаэдре 20 таких больших треугольников, следовательно, общее число треугольных граней в X равно $F = 20 минус 9 = 180.$

В свою очередь, общее число ребер составляет $E = 180 умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби = 270.$ (каждая треугольная грань имеет три ребра, но каждое ребро принадлежит двум граням).

Общее число вершин можно рассчитать, воспользовавшись теоремой Эйлера для выпуклых многогранников:

число вершин (V) − число ребер (E) + число граней (F)  =  2.

Тогда: $V=2 минус F плюс E,$ $V = 2 минус 180 плюс 270 = 92.$

2.  В многограннике Y вершины будут формировать пятиугольные и шестиугольные грани, сходящиеся в вершинах по 3, что полностью совпадает с определением фуллереновой молекулы.

Общее число атомов углерода в фуллереновой молекуле, которой отвечает многогранник Y, равно числу треугольных граней в X, то есть, в результате описанного преобразования получается фуллерен C₁₈₀.

3.  У представленного в условии каркаса можно выделить три типа вершин:

—  A  — сходятся 5 ребер (они же  — вершины икосаэдра в X, удаляются при преобразовании в $X в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка правая круглая скобка ;$

—  Б  — сходятся 6 ребер; лежат на отрезке, соединяющем две ближайшие друг к другу вершины А (то есть, на ребре икосаэдра в X); в многограннике $X в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ в них остается по 5 ребер, а, следовательно, они не могут быть удалены при преобразовании в Z;

—  В  — сходятся 6 ребер; лежат в центре треугольных граней икосаэдра в X, следовательно, могут удаляться при преобразовании в Z.

Чтобы получить многогранник, составленный из пяти- и шестиугольных граней, необходимо из $X в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ удалить все вершины типа В. При этом оставшиеся в каркасе вершины типа Б дополнительно потеряют по два ребра, и в них будет сходится по три ребра, что отвечает определению фуллеренового многогранника.

То есть, вершинами Z будут вершины типа Б в X. Общее их количество равно числу ребер икосаэдра, умноженному на 2 (так как на каждое ребро икосаэдра приходится две таких вершины): $30 умножить на 2 = 60.$ Таким образом, многограннику Z отвечает фуллерен C₆₀. Он содержит в три раза меньше атомов, чем отвечающий многогранинку YC₁₈₀.

Решение · Помощь

Тип 21 № 9419 Добавить в вариант

Полимерные электролитические мембраны  — одна из главных составляющих водородных топливных элементов, экологичных источников тока, уже сегодня питающих не только небольшие зарядные устройства, но и огромные локомотивы, тянущие поезда в разных точках нашей планеты.

Рис. Модельное представление микроструктуры полимерного электролита Нафиона. Сферические полости диаметром 4 нм образуют периодическую трехмерную сеть: центры этих полостей расположены друг относительно друга как вершины кубас ребром 5 нм; ближайшие друг к другу полости соединены между собой цилиндрическими порами диаметром 1 нм.

На рисунке представлена модель микроструктуры для одного из полимерных электролитов, фторуглеродного Нафиона. Рассчитайте совокупную площадь поверхности полостей и каналов этого полимера (в м²), отнесенную к 1 см³ объема мембраны, изготовленной из него. Сравните полученную площадь с площадью стандартной волейбольной площадки (размер 9 на 18 метров).

Решение · Помощь

Тип 21 № 9420 Добавить в вариант

Пусть в некотором мире наследственная информация записывается в геноме не при помощи классического алфавита из четырех нуклеотидных букв (А, G, T, C), а при помощи расширенного алфавита из шести  — А, G, T, C, Х и Y. При этом белковые молекулы, как и на Земле, строятся из 20 аминокислот.

1.  Какое минимальное число нуклеотидных букв потребуется в кодоне расширенного алфавита, чтобы он мог кодировать все аминокислоты? Как отличается избыточность такой кодировки от избыточности кодировки для классического алфавита?

2.  Во сколько раз отличается объем информации, которая может быть закодирована в последовательности нуклеотидов фиксированной длины при использовании расширенного и классического алфавита?

(Кодон  — единица генетического кода, кодирует одну аминокислоту. Избыточностью кодировки считать отношение числа всех вариантов значений одного кодона, к числу вариантов, которые он должен зашифровать).

Решение.

1.  Избыточность природного кода $дробь: числитель: 4 в кубе , знаменатель: 20 конец дроби = дробь: числитель: 64, знаменатель: 20 конец дроби = 3,2$ (число вариантов трехбуквенного слова, записанного алфавитом из четырех букв, отнесенное к числу шифруемых аминокислот).

Для того, чтобы зашифровать 20 аминокислот расширенным кодом, хватит всего двух букв, поскольку число вариантов двухбуквенного слова, записанного алфавитом из шести букв, больше, чем число кодируемых аминокислот: $6 в квадрате = 36 больше 20.$ При этом избыточность составляет $дробь: числитель: 36, знаменатель: 20 конец дроби = 1,8,$ что в $дробь: числитель: 3,2, знаменатель: 1,8 конец дроби \approx 1,8$ раз меньше, чем для природного кода.

2.  При стандартном способе кодирования используются 4 нуклеотидных буквы, то есть, для произвольной последовательности длиной n букв возможно 4ⁿ вариантов текста, что отвечает объему информации, равному $I_4 = логарифм по основанию 2 4 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка = 2 n$ бит информации.

В то же время, при записи последовательности такой же длины с использованием расширенного алфавита из шести нуклеотидов мы получаем один из 6ⁿ вариантов. B этом случае объем информации равен

$I_6 = логарифм по основанию 2 6 в степени n = логарифм по основанию 2 2 в степени n 3 в степени n = n плюс n логарифм по основанию 2 3 \approx 2,58495 n \approx 2,58 n.$

Тогда увеличение объема записанной информации будет в $дробь: числитель: I_6, знаменатель: I_4 конец дроби = дробь: числитель: 2,58 n, знаменатель: 2n конец дроби = 1,29 раз.$

Решение · Помощь

Тип 21 № 9421 Добавить в вариант

Если взять металлический нанокластер А, имеющий форму куба (пример кубического нанокластера приведен на рисунке), и последовательно дважды удалить все атомы металла, находящиеся на его поверхности, то получится нанокластер Б. В тоже время, из атомов, удаленных с поверхности А, можно без остатка собрать еще два кубических нанокластера  — В и Г.

Найдите, чему равно число атомов металла, приходящихся на ребро каждого из четырех нанокластеров, а также общее число атомов в исходном кубе, если известно, что

—  число атомов, приходящихся на ребро нанокластера А(y) выражается через число атомов, приходящимся на ребро нанокластера B(x), как $y = 2 x плюс 10;$

—  кластер Г можно получить, удалив все атомы металла, находящиеся на поверхности нанокластера В.

Решение · Помощь

Тип 21 № 9422 Добавить в вариант

Оцените, сколько всего атомов бора содержит лист нитрида бора BN (см. рис.) в виде прямоугольника со сторонами a  =  0,9 мкм и b  =  1,8 мкм. Длину связи B−N считать равной с  =  0,14 нм.

Рис. Структура BN. Темными кругами отмечены атомы бора B, светлыми  — азота N.

Решение · Помощь

Тип 21 № 9423 Добавить в вариант

Оцените размер однобитного домена (в нм²) на поверхности устройства хранения информации («жесткого диска»), если

—  емкость устройства равна $200 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 12 правая круглая скобка бит;$

—  устройство состоит из 10 одинаковых магнитных дисков;

—  запись производится с двух сторон магнитного диска;

—  внешний диаметр области записи данных на магнитном диске составляет 9 см, внутренний  — 3 см.

Решение · Помощь

Тип 21 № 9424 Добавить в вариант

Чему равна поглотительная емкость слоистого материала, ω (то есть, количество грамм фенола которое поглотит один грамм поглощающего материала), если один квадратный метр площади его поверхности способен поглотить m_t  =  280 мг фенола, плотность вещества, составляющего отдельный слой материала, равна ρ  =  2,8 г/см³ а толщина этого слоя h  =  25 нм? Считать, что отдельные слои в структуре материала не соприкасаются между собой, и в поглощении участвуют обе стороны каждого слоя.

Решение · Помощь

Тип 21 № 9425 Добавить в вариант

Рис. 1. Пример нанокластера в форме куба. В этом примере на ребро нанокластера приходится пять атомов металла.

1.  Найдите минимальное число атомов металла, которое должно приходиться на ребро нанокластера в форме куба (см. рис. 1), если общее число атомов, составляющих такой нанокластер, можно разделить нацело без остатка

а)  на 1575 равных частей;

б)  на 4032 равных частей;

в)  как на 1575, так и на 4032 равных частей.

Решение обоснуйте.

2.  Для самого маленького и самого большого из нанокластеров (а)–(в), найденных ранее, рассчитайте радиусы описанных вокруг них сфер (в нм). Атомы металла считать шарами радиусом 0,13 нм.

Решение.

1.  a)  Разложим 1575 на множители: 1575 оканчивается на 5, следовательно, оно кратно 5: $1575 : 5 = 315,$ $315 : 5 = 63,$ здесь $63 = 3 умножить на 3 умножить на 7,$ то есть $1575 =3 в квадрате умножить на 5 в квадрате умножить на 7.$ Ближайшим кубом натурального числа, кратного 1575, будет

$3 в кубе умножить на 5 в кубе умножить на 7 в кубе = левая круглая скобка 3 умножить на 5 умножить на 7 правая круглая скобка в кубе = 105 в кубе .$

Таким образом, на ребро искомого нанокластера должно приходится 105 атомов металла.

б)  Разложим 4032 на множители: 4032  — четное число, и при делении его на 2 тоже получается четное. Поделив его 6 раз на 2:

$4032 : 2 = 2016,$ $2016 : 2 = 1008,$ $1008 : 2 = 504,$

$504 : 2=252,$ $252 : 2=126,$ $126 : 2 = 63,$

здесь $63 = 3 умножить на 3 умножить на 7,$ то есть $4032 = 2 в степени 6 умножить на 3 в квадрате умножить на 7 .$

Ближайшим кубом натурального числа, кратного 4032, будет

$2 в степени 6 умножить на 3 в кубе умножить на 7 в кубе = левая круглая скобка 2 умножить на 2 умножить на 3 умножить на 7 правая круглая скобка в кубе = 84 в кубе .$

Таким образом, на ребро искомого нанокластера должно приходится 84 атома металла.

в)  Найдем НОК (наименьшее общее кратное) для чисел 1575 и 4032: $1575 =3 в квадрате умножить на 5 в квадрате умножить на 7$ и $4032 = 2 в степени 6 умножить на 3 в квадрате умножить на 7,$ откуда

$HOK левая круглая скобка 1575, 4032 правая круглая скобка = 2 в степени 6 умножить на 3 в квадрате умножить на 5 в квадрате умножить на 7 = 100800 .$

Ближайшим кубом натурального числа, кратного 100800, будет

$2 в степени 6 умножить на 3 в кубе умножить на 5 в кубе умножить на 7 в кубе = левая круглая скобка 2 умножить на 2 умножить на 3 умножить на 5 умножить на 7 правая круглая скобка в кубе = 4 20 в кубе .$

Таким образом, на ребро искомого нанокластера должно приходится 420 атомов металла.

2.  Из трех полученных ранее чисел  — 105, 84 и 420  — минимальным является 84, а максимальным  — 420. Найдем длину ребра для каждого из случаев:

$a_\min =84 умножить на 2r = 84 умножить на 2 умножить на 0,13=21,8 нм,$

$a_\max = 420 умножить на 2r = 420 умножить на 2 умножить на 0,13 = 109,2 нм.$

Найдем радиус сферы, описанной вокруг кубического нанокластера, на ребро которого приходится n атомов. Для этого сначала рассмотрим куб, вершины которого лежат в центрах атомов, являющихся вершинами кубического нанокластера. Радиус сферы, описанной вокруг такого куба, отличается от радиуса искомой сферы на величину радиуса атома и может быть рассчитан как половина объемной диагонали куба. Следовательно, радиус сферы, описанной вокруг кубического нанокластера, равен

$R = левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка 2 r умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби плюс r.$

Тогда:

$R}_\min = левая круглая скобка n_\min минус 1 правая круглая скобка 2 r} умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби плюс r}= левая круглая скобка 84 минус 1 правая круглая скобка умножить на 2 умножить на 0,13 умножить на дробь: числитель: 1,7, знаменатель: 2 конец дроби плюс 0,13 = 18,5 нм,$

$R_\max = левая круглая скобка n_\max минус 1 правая круглая скобка 2 r} умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби плюс r}= левая круглая скобка 420 минус 1 правая круглая скобка умножить на 2 умножить на 0,13 умножить на дробь: числитель: 1,7, знаменатель: 2 конец дроби плюс 0,13 = 92,7 нм.$

Решение · Помощь

Тип 21 № 9521 Добавить в вариант

На прямой выбрано несколько отрезков так, что все их концы различны. Докажите, что на этой прямой можно отметить несколько точек так, чтобы на каждом отрезке было отмечено нечётное количество отмеченных точек.

Решение.

Пусть отрезков всего N. Пронумеруем их числами от 1 до N слева направо, по порядку их правых концов (так, например, у 1-го отрезка самый левый правый конец, а у N-го  — самый правый правый конец).

Рассмотрим 1-й отрезок и отметим его правый конец. Затем перейдём ко 2-му отрезку: отметим его правый конец, если он не содержит ранее отмеченную точку, и не будем отмечать, если содержит ранее отмеченную точку.

Будем и дальше рассматривать отрезки по порядку. Когда мы переходим к k-му отрезку, на каждом из предыдущих отрезков уже отмечено нечётное количество точек. Если на k-м отрезке уже отмечено нечётное количество точек, то дополнительно на нём ничего не будем отмечать, а если чётное  — отметим его правый конец. Заметим, что все отрезки с 1-го по (k – 1)-й не содержат правый конец k-го отрезка, поэтому после нашего действия все отрезки с 1-го по k-й будут содержать нечётное количество отмеченных точек.

Рассмотрев последовательно все N отрезков, получим, что все отрезки с 1-го по N-й будут содержать нечётное количество точек.

Замечание.

Также решение можно было оформить с помощью математической индукции по количеству отрезков.

Решение · Критерии · Помощь

Тип 21 № 9581 Добавить в вариант

Петя записывает на листе бумаги строчку из 7 нулей и 20 единиц, расположенных в совершенно случайном порядке. Найти математическое ожидание случайной величины - числа нулей, записанных до появления первой единицы.

Критерии	Баллы
Верный ответ без обоснования	0
Есть понимание, каковы элементарные исходы в задаче	0,5
Плюс понимание, что такое математическое ожидание	1,0
Получен непричесанный ответ (или решение с незначительными погрешностями)	1,5
Свернутый (но необязательно сведенный к числу) верный ответ	2,0

Решение · Критерии · Помощь

Всего: 47 1–20 | 21–40 | 41–47