1. Найдите минимальное число атомов металла, которое должно приходиться на ребро нанокластера в форме куба (см. рис. 1), если общее число атомов, составляющих такой нанокластер, можно разделить нацело без остатка
а) на 1575 равных частей;
б) на 4032 равных частей;
в) как на 1575, так и на 4032 равных частей.
Решение обоснуйте.
2. Для самого маленького и самого большого из нанокластеров (а)–(в), найденных ранее, рассчитайте радиусы описанных вокруг них сфер (в нм). Атомы металла считать шарами радиусом 0,13 нм.
1. a) Разложим 1575 на множители: 1575 оканчивается на 5, следовательно, оно кратно 5: 
здесь 
то есть 
Ближайшим кубом натурального числа, кратного 1575, будет
Таким образом, на ребро искомого нанокластера должно приходится 105 атомов металла.
б) Разложим 4032 на множители: 4032 — четное число, и при делении его на 2 тоже получается четное. Поделив его 6 раз на 2:
здесь то есть 
Ближайшим кубом натурального числа, кратного 4032, будет
Таким образом, на ребро искомого нанокластера должно приходится 84 атома металла.
в) Найдем НОК (наименьшее общее кратное) для чисел 1575 и 4032: 
и 
откуда
Ближайшим кубом натурального числа, кратного 100800, будет
Таким образом, на ребро искомого нанокластера должно приходится 420 атомов металла.
2. Из трех полученных ранее чисел — 105, 84 и 420 — минимальным является 84, а максимальным — 420. Найдем длину ребра для каждого из случаев:
Найдем радиус сферы, описанной вокруг кубического нанокластера, на ребро которого приходится n атомов. Для этого сначала рассмотрим куб, вершины которого лежат в центрах атомов, являющихся вершинами кубического нанокластера. Радиус сферы, описанной вокруг такого куба, отличается от радиуса искомой сферы на величину радиуса атома и может быть рассчитан как половина объемной диагонали куба. Следовательно, радиус сферы, описанной вокруг кубического нанокластера, равен
Тогда:
