Всего: 197 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 …
Добавить в вариант
На сторонах AC и BC треугольника ABC взяты соответственно точки D и E. Отрезки AE и BD пересекаются в точке F. Найдите площадь треугольника CDE, если площади треугольников ABF, ADF и BEF соответственно равны 1, 
Так как отношение площадей треугольников с равными высотами равно отношению длин оснований, то 
На сторонах AC и BC треугольника ABC взяты соответственно точки E и F. Отрезки BF и CE пересекаются в точке D. Найдите площадь треугольника AEF, если площади треугольников BCD, BDE и CDF соответственно равны 1, 
На стороне BC треугольника ABC взята точка M такая, что 
Биссектриса BL данного треугольника и отрезок AM пересекаются в точке P под углом 90°.
а) Найдите отношение площади треугольника ABP к площади четырёхугольника LPMC.
б) На отрезке MC отмечена точка F такая, что 
Пусть дополнительно известно, что прямые LF и BC перпендикулярны. Найдите угол CBL.
тогда 
По свойству биссектрисы треугольника, 
и 
Пусть 
Тогда из треугольника BPM получаем, что 
а из треугольника BFL — что 
Приравнивая эти выражения для косинуса, находим, что 
откуда 
На стороне BC треугольника ABC взята точка M такая, что 
Биссектриса BL данного треугольника и отрезок AM пересекаются в точке P под углом 90°.
а) Найдите отношение площади треугольника ABP к площади четырёхугольника LPMC.
б) На отрезке MC отмечена точка T такая, что 
Пусть дополнительно известно, что прямые LT и BC перпендикулярны. Найдите угол CBL.
По свойству биссектрисы треугольника, 
Пусть 
получаем, что 
а из треугольника BFL — 
откуда 
Пусть H — основание этого перпендикуляра. Зафиксируем какой-нибудь треугольник ABC и обозначим через R вторую точку пересечения прямой PH с описанной окружностью треугольника PBC. Тогда степень точки H относительно этой окружности равна 
по свойству высоты в прямоугольном треугольнике. Следовательно, длина отрезка HR не зависит от выбора треугольника. Заметим к тому же, что точка H всегда лежит на отрезке BC, т. е. внутри описанной окружности PBC, а значит, точки R и P всегда будут лежать в разных полуплоскостях относительно прямой ℓ. 
должна пересекать прямую PH в точке, удаленной от P 
Неравнобедренный треугольник ABC периметра 12 вписан в окружность 
Точки P и Q — середины дуг ABC и ACB соответственно. Касательная, проведенная к окружности 
в точке A, пересекает луч PQ в точке R. Оказалось, что середина отрезка AR лежит на прямой BC. Найдите длину отрезка BC.
—
будут биссектрисами треугольника ABC, а прямые 
—
а окружность 
с 
Следовательно, 
Аналогично, 
Таким образом, PQ — средняя линия треугольника 
Докажем, что 
Действительно, 
поскольку 
а поскольку треугольник AKL прямоугольный, то и 
Следовательно, ALRK — прямоугольник и 
Мы получаем, что прямые PQ и LR параллельны 
и имеют общую точку R. Тогда эти прямые совпадают. Это означает, что точка L лежит на средней линии треугольника 
и, следовательно, делит пополам отрезок 
Далее, применив свойство внешней биссектрисы к треугольникам ABL и ACL, получим 
и, следовательно, 
Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Прямая AO вторично пересекает окружность в точке A′ . MB и MC — середины сторон AC и AB соответственно. Прямые A′MB и A′MC пересекают окружность вторично в точках B′ и C′ , а также пересекают сторону BC в точках DB и DC соответственно. Описанные окружности треугольников CDBB′ и BDCC′ пересекаются в точках P и Q. Докажите, что точки O, P и Q лежат на одной прямой.
в A, и обозначим образ точки C при этом повороте через 
Пусть X — точка пересечения прямых 
и 
Из равенства дуг 
и 
легко следует равенство углов 
при этом повороте переходит в описанную окружность треугольника 
При этом точка O, очевидно, будет иметь одинаковые степени относительно этих двух окружностей.
в A и обозначив образ точки B через 
и точку пересечения 
через Y, мы получим, что точка O имеет одинаковые степени относительно описанных окружностей треугольников 
и 
нам достаточно доказать, что точка O имеет одинаковые степени относительно описанных окружностей треугольников 
и 
—
и 
—
—
также гармонический. Но тогда обозначив через S точку пересечения прямых 
мы получим равенство двойных отношений 
Дана прямоугольный треугольник ABC. На продолжении гипотенузы BC выбрана точка D так, что прямая AD — касательная к описанной окружности ω треугольник ABC. Прямая AC пересекает описанную окружность треугольник ABD в точке E. Оказалось, что биссектриса угол ADE касается окружности ω. В каком отношении точка C делит отрезок AE?
K и L — точки пересечения биссектрисы угла ADE с AE и ω соответственно. Угол между касательной AD к окружности ω и хордой AC равен вписанному углу, который опирается на AC, откуда 
Кроме того, вписанные углы AED и α опираются на хорду AD и потому равны. Тогда 
и 
Тогда 
и по свойству биссектрисы 
Дан параллелограмм ABCD. Описанная окружность ω треугольника ABC второй раз пересекает сторону AD и продолжение стороны DC в точках P и Q соответственно. Докажите, что центр описанной окружности треугольника PDQ лежит на ω.
и точка B лежит на серединном перпендикуляре к PQ. Обозначим точку его пересечения с окружностью ω через О. Тогда точки B и O диаметрально противоположны и, значит, 
В силу равнобочности трапеции ABCP и равенства противоположных сторон параллелограмма ABCD, имеем 
Поэтому C лежит на серединном перпендикуляре к PD. Но CO перпендикулярно BC, а, значит, и AD. Следовательно, O также лежит на серединном перпендикуляре к PD. Итак, точка O лежит на серединных перпендикулярах к отрезкам PQ Трапеция ABCD (сторона AB параллельна стороне CD) вписана в окружность ω. На луче DC за точкой C отмечена такая
и 
Поскольку треугольник BCE равнобедренный, 
Таким образом, 
и точка A лежит на серединном перпендикуляре к CF. Обозначим точку его пересечения с окружностью ω через O. Тогда точки A и O диаметрально противоположны и, значит, 
Поскольку треугольник BCE равнобедренный, точка B лежит на серединном перпендикуляре к 
Но 
перпендикулярно 
а, значит, и CE. Следовательно, O также лежит на серединном перпендикуляре к CE. Итак, точка O лежит на серединных перпендикулярах к отрезкам CE и CF. Стало быть, она является центром описанной окружности треугольника CEF.Пусть все углы треугольника ABC меньше 120° и 
Рассмотрим точку внутри треугольника, для которой
Пусть прямая BT пересекает сторону AC в точке E, а прямая CT пересекает сторону AB в точке F. Докажите, что прямые EF и BC пересекаются в некоторой точке M, причём MB : MC = TB : TC.
и треугольник TBC — равнобедренный (с основанием BC). Поэтому его биссектриса TD является также медианой и высотой. Значит, AD — медиана и высота треугольнкие ABC. т. е. 
—
По свойству биссектрисы, 
откуда 
3.1 Пусть сад имеет форму правильного треугольника со стороной 1. Докажите, что Георгию Константиновичу хватит ежей суммарной длиной 
Развернуть
а поскольку медианы делят друг друг в отношении 2 : 1, то суммарная длина отрезков медиан до точек пересечения равна 1.1 Пусть сад имеет форму правильного треугольника со стороной 1. Докажите, что Георгию Константиновичу хватит /ежей суммарной длиной
Развернуть
а поскольку медианы делят друг друг в отношении 2 : 1, то суммарная длина отрезков медиан до точек пересечения равна 
и соединить ее 
хорошо известно, что в ней достигается минимум суммы длин отрезков XB, XC Пусть все углы треугольника ABC меньше 120° и Рассмотрим точку внутри треугольника, для которой
Пусть прямая BT пересекает сторону AC в точке E, а прямая CT пересекает сторону AB в точке F. Докажите, что прямые EF и BC пересекаются в некоторой точке M, причём MB : MC = TB : TC.
2.1 Пусть сад имеет форму правильного треугольника со стороной 1. Докажите, что Георгию Константиновичу хватит ежей суммарной длиной
Развернуть
1.3 Пусть L — точка пересечения прямых AP и CM, S — точка пересечения прямых AN и CQ. Докажите, что LS и PQ — параллельны.
Развернуть
треугольника ABC. Описанная окружность треугольника AIC пересекает 
откуда точка I лежит на середине дуги PQ описанной вокруг треугольника AIC окружности. Обозначим за T точку пересечения прямых AP и CQ. По теореме Фалеса искомая параллельность равносильна равенству 
По свойству биссектрис 
и 
опираются на дугу AC), откуда 
BM с вписанной окружностью за 
Тогда 
—
—
Поскольку точки M и N по построению лежат вне треугольника ABC, а точки 
и 
внутри, точки M и N лежат на лучах 
и 
дальше, чем 
1.2 Дан треугольник DEF. Окружность, проходящая через вершины E и F пересекает стороны DE и DF в точках X и Y соответственно. Биссектриса угла 
пересекает DF в точке Y', а биссектриса угла 
пересекает DE в точке X'. Докажите, что XY и X'Y' параллельны.
Развернуть
(теорема Фалеса). По свойству биссектрисы,
то получаем, что I лежит на серпере к AC. Отсюда следует равнобедренность.На стороне AC треугольника ABC взяты точки E и K, причем точка E лежит между точками A и K и AE : EK : KC = 3 : 5 : 4. Медиана AD пересекает отрезки BE и BK в точках L и M соответственно. Найдите отношение площадей треугольников BLM и ABC.
и 
а значит, 
поэтому 
Отсюда 
а значит, 
