Треугольник ABC вписан в окружность 
с центром O. Прямая AO вторично пересекает окружность в точке A′ . MB и MC — середины сторон AC и AB соответственно. Прямые A′MB и A′MC пересекают окружность вторично в точках B′ и C′ , а также пересекают сторону BC в точках DB и DC соответственно. Описанные окружности треугольников CDBB′ и BDCC′ пересекаются в точках P и Q. Докажите, что точки O, P и Q лежат на одной прямой.
Сделаем поворот с центром в точке O, переводящий 
в A, и обозначим образ точки C при этом повороте через 
Пусть X — точка пересечения прямых 
и 
Из равенства дуг 
и 
легко следует равенство углов
Тогда описанная окружность треугольника 
при этом повороте переходит в описанную окружность треугольника 
При этом точка O, очевидно, будет иметь одинаковые степени относительно этих двух окружностей.
Аналогично, рассмотрев поворот с центром в O, переводящий 
в A и обозначив образ точки B через 
и точку пересечения с 
через Y, мы получим, что точка O имеет одинаковые степени относительно описанных окружностей треугольников 
и 
Таким образом, вместо утверждения «точка O лежит на прямой PQ» эквивалентного тому, что точка O имеет одинаковые степени относительно описанных окружностей треугольников и 
нам достаточно доказать, что точка O имеет одинаковые степени относительно описанных окружностей треугольников 
и А это эквивалентно тому, что точки X и Y совпадают.
Заметим, что прямая 
—
и
Следовательно, 
— и тогда четырехугольник 
—
также гармонический. Но тогда обозначив через S точку пересечения прямых и 
мы получим равенство двойных отношений
откуда 