Пусть дан тет­ра­эдр ABCD, а P, Q, R, S  — се­ре­ди­ны ребер BD, AD, AC и BC со­от­вет­ствен­но. Тогда пря­мые RS и PQ па­рал­лель­ны AB как сред­ние линии тре­уголь­ни­ков ABC и ABD, а пря­мые PS и QR па­рал­лель­ны DC как сред­ние линии тре­уголь­ни­ков BDC и ADC. От­сю­да не­мед­лен­но сле­ду­ет, что PQRS  — па­рал­ле­ло­грамм. Ho все его вер­ши­ны лежат на сфере, по­то­му он впи­сан­ный, т. е. PQRS  — пря­мо­уголь­ник. В силу па­рал­лель­но­сти сто­ро­нам пря­мо­уголь­ни­ка пря­мые AB и C D пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Ана­ло­гич­но и

До­ка­жем, что пер­пен­ди­ку­ляр­ность про­ти­во­по­лож­ных сто­рон тет­ра­эд­ра яв­ля­ет­ся до­ста­точ­ным усло­ви­ем того, что вы­со­ты тет­ра­эд­ра пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке. По­стро­им плос­кость, про­хо­дя­щую через ребро DC пер­пен­ди­ку­ляр­но AB. Вы­со­ты тет­ра­эд­ра, опу­шен­ные из точек D и C, лежат в этой плос­ко­сти, и, зна­чит, пе­ре­се­ка­ют­ся. Обо­зна­чим точку их пе­ре­се­че­ния через H. Вы­со­ты из вер­шин A и B также долж­ны пе­ре­се­кать вы­со­ты из вер­шин D и C, но так как они не лежат в плос­ко­сти DHC, пе­ре­се­кать их они могут толь­ко в точке H.