Сюжет 1
Пусть I — центр вписанной окружности 
треугольника ABC. Описанная окружность треугольника AIC пересекает в точках P и Q (так, что P и A лежат по одну сторону от прямой BI, а Q и C — по другую).
1.1 Докажите, что если PQ параллельна AC, то треугольник ABC равнобедренный.
Пусть PQ — общая хорда вписанной окружности и окружности AIC, поэтому она перпендикулярна IZ, где Z — центр окружности AIC. Значит, IZ перпендикулярна AC. Так как 
то получаем, что I лежит на серпере к AC. Отсюда следует равнобедренность.
1.2 Дан треугольник DEF. Окружность, проходящая через вершины E и F пересекает стороны DE и DF в точках X и Y соответственно. Биссектриса угла 
пересекает DF в точке Y', а биссектриса угла 
пересекает DE в точке X'. Докажите, что XY и X'Y' параллельны.
(теорема Фалеса). По свойству биссектрисы,
