Точки A и P лежат вне прямой l. Рассматриваются всевозможные прямоугольные треугольники ABC с гипотенузой, лежащей на l. Докажите, что окружности, описанные около треугольников PBC, имеют общую точку, отличную от P.
(Ф. Бахарев)
Опустим из точки A перпендикуляр на прямую
Пусть H — основание этого перпендикуляра. Зафиксируем какой-нибудь треугольник ABC и обозначим через R вторую точку пересечения прямой PH с описанной окружностью треугольника PBC. Тогда степень точки H относительно этой окружности равна
Кроме того, 
по свойству высоты в прямоугольном треугольнике. Следовательно, длина отрезка HR не зависит от выбора треугольника. Заметим к тому же, что точка H всегда лежит на отрезке BC, т. е. внутри описанной окружности PBC, а значит, точки R и P всегда будут лежать в разных полуплоскостях относительно прямой ℓ.
Таким образом, описанная окружность любого треугольника 
должна пересекать прямую PH в точке, удаленной от P 