Всего: 197 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …
Добавить в вариант
Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Пусть P — центр окружности, вписанной в треугольник ABD, а Q — центр окружности, вписанной в треугольник CBD. Луч BP пересекает сторону DA в точке M, а луч DQ пересекает сторону BC в точке N. Оказалось, что 
и 
а) Найдите отношение 
б) Пусть дополнительно известно, что данные в условии окружности касаются. Найдите длины сторон AB и CD.
Используя равенство отрезков касательной, проведённых к окружности из одной точки, получаем соотношения 
откуда 
и 
б) 
В треугольнике ABC проведена медиана BM; MD и ME — биссектрисы треугольников AMB и CMB соответственно. Отрезки BM и DE пересекаются в точке P, причём 
а) Найдите отрезок DE.
б) Пусть дополнительно известно, что около четырёхугольника ADEC можно описать окружность. Найдите её радиус.
то отсюда следует, что 
поэтому AC параллельна DE. Но тогда 
равнобедренный и 
Аналогично получаем, что 
и тогда 
б) 
В треугольнике ABC проведена медиана BM; MD и ME – биссектрисы треугольников AMB и CMB соответственно. Отрезки BM и DE пересекаются в точке P, причём 
а) Найдите отрезок DE.
б) Пусть дополнительно известно, что около четырёхугольника ADEC можно описать окружность. Найдите её радиус.
Аналогично получаем, что 
и тогда 
б) 
В треугольнике ABC известно, что 
угол 
Продолжение биссектрисы AA1 пересекает окружность, описанную около треугольника ABC, в точке A2. Найдите площади треугольников OA2C и A1A2C, где O — центр окружности, описанной около треугольника ABC.
—
который по условию равен 
поэтому 
Тогда площадь треугольника 
равна 
Углы 
и 
равны как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, поэтому 
Значит, 
— равносторонни и найдена его площадь — 1 балл.
— 3 балла.В треугольнике ABC известно, что AB = 4, AC = 6, угол BAC = 60°. Продолжение биссектрисы AA1 пересекает окружность, описанную около треугольника ABC, в точке A2. Найдите площади треугольников OA2C и A1A2C, где O – центр окружности, описанной около треугольника ABC.
равна 
В треугольнике ABC проведена медиана BM; MD и ME — биссектрисы треугольников AMB и CMB соответственно. Отрезки BM и DE пересекаются в точке P, причём 
а) Найдите отрезок DE.
б) Пусть дополнительно известно, что около четырёхугольника ADEC можно описать окружность. Найдите её радиус.
б) 
В треугольнике ABC проведена медиана BM; MD и ME — биссектрисы треугольников AMB и CMB соответственно. Отрезки BM и DE пересекаются в точке P, причём 
а) Найдите отрезок DE.
б) Пусть дополнительно известно, что около четырёхугольника ADEC можно описать окружность. Найдите её радиус.
б)
В треугольнике ABC известно, что 
угол 
Продолжение биссектрисы AA1 пересекает окружность, описанную около треугольника ABC, в точке A2. Найдите площади треугольников OA2C и A1A2C (O — центр окружности, описанной около треугольника ABC).
Тогда площадь треугольника 
Углы 
В треугольнике ABC известно, что 
угол Продолжение биссектрисы AA1 пересекает окружность, описанную около треугольника ABC, в точке A2. Найдите площади треугольников OA2C и A1A2C (O — центр окружности, описанной около треугольника ABC).
равносторонний, поэтому 
Точка K лежит на стороне AB треугольника ABC с углом 120° при вершине C. В треугольники AKC и BKC вписаны окружности с центрами O и Q соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника OQC, если 
и тогда по теореме Пифагора находим, что 
Точка P лежит на стороне BC треугольника ABC с углом 60° при вершине A. В треугольники APB и APC вписаны окружности с центрами D и T соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ADT, если 
и тогда по теореме Пифагора находим, что 
Окружность 
радиуса 6 с центром O вписана в остроугольный треугольник CFM и касается его сторон CM и FM в точках P и K соответственно. Окружность 
радиуса 
с центром T описана около треугольника PKM.
а) Найдите OM.
б) Пусть дополнительно известно, что отношение площади треугольника CFT к площади треугольника CFM равно 
Найдите длину биссектрисы MA треугольника CFM, а также его площадь.
Отрезок OM равен удвоенному радиусу этой окружности, т. е. 
через B, высоту треугольника, проведённую из вершины M, через MH. Пусть 
Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, поэтому 
Из треугольника POM находим, что 
Отсюда получаем 
из треугольника AOB получаем, что 
где 
—
получаем, что 
откуда 
тогда 
Окружность радиуса 4 с центром O вписана в остроугольный треугольник EFQ и касается его сторон FQ и EQ в точках M и P соответственно. Окружность радиуса 
с центром T описана около треугольника PQM.
а) Найдите OQ.
б) Пусть дополнительно известно, что отношение площади треугольника FTE к площади треугольника EFQ равно
Найдите длину биссектрисы QA треугольника EFQ, а также его площадь.
Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, поэтому 
Из треугольника POQ находим, что 
Отсюда получаем 
из треугольника AOB получаем, что 
где 
—
получаем, что 
откуда 
тогда 
В треугольнике ABC медианы BD и CE пересекаются в точке M. Окружность, построенная на отрезке BM как на диаметре, проходит через вершину C и касается прямой DE. Известно, что CM = 4. Найдите высоту AH треугольника ABC, угол CBD и площадь треугольника ABC.
считая от вершины, 
а гипотенуза 
Следовательно, 
Отрезок DE — средняя линия треугольника ABC, поэтому DE параллельна BC и 
Из треугольника BMC находим, что 
Тогда площадь треугольника равна 
В треугольнике KLM медианы LD и ME пересекаются в точке G. Окружность, построенная на отрезке LG как на диаметре, проходит через вершину M и касается прямой DE. Известно, что GM = 6. Найдите высоту KT треугольника KLM, угол LGM и площадь треугольника KLM.
с окружностью через S, а радиус окружности через R. Поскольку медианы точкой пересечения делятся в отношении 
катет 
а гипотенуза 
Отрезок DE — средняя линия треугольника KLM, поэтому DE и LM — параллельны, 
Из треугольника GLM находим, что 
Тогда площадь треугольника равна 
На стороне BC треугольника ABC взята точка M такая, что MC : BM = 5 : 2. Биссектриса данного треугольника BL и отрезок AM пересекаются в точке P под углом 90°.
а) Найдите отношение площади треугольника ABP к площади четырёхугольника LPMC.
б) На отрезке MC отмечена точка F такая, что FC : MF = 4 : 1. Пусть дополнительно известно, что прямые LF и BC перпендикулярны. Найдите угол CBL.
отрезок BP является биссектрисой и высотой, поэтому треугольник 
тогда 
По свойству биссектрисы треугольника, 
и 
общая высота, проведённая из вершины A, то 
Пусть 
Тогда из треугольника 
получаем, что 
а из треугольника BFL — что 
Приравнивая эти выражения для косинуса, находим, что 
откуда 
Тогда, поскольку 
откуда 
Таким образом, треугольник ABC имеет стороны 8, 12 и 5. Отсюда по формуле Герона площадь треугольника ABC равна 
На стороне BC треугольника ABC взята точка M такая, что MC : BM = 7 : 2. Биссектриса BL данного треугольника и отрезок AM пересекаются в точке P под углом 90°.
а) Найдите отношение площади треугольника ABP к площади четырёхугольника LPMC.
б) На отрезке MC отмечена точка T такая, что TC : MT = 6 : 1. Пусть дополнительно известно, что прямые LT и BC перпендикулярны. Найдите угол CBL.
По свойству биссектрисы треугольника, 
Пусть 
а из треугольника 
откуда 
Таким образом, треугольник ABC имеет стороны 8, 12 и 5. Отсюда по формуле Герон а площадь треугольника ABC равна 