сайты - меню - вход - но­во­сти
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об олим­пи­а­дах
Ка­та­лог за­да­ний
Уче­ни­ку
Учи­те­лю
Школа
Ска­зать спа­си­бо
Во­прос — ответ


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В тре­уголь­ни­ке ABC из­вест­но, что AB=4, AC=6, угол BAC=60 гра­ду­сов . Про­дол­же­ние бис­сек­три­сы AA1 пе­ре­се­ка­ет окруж­ность, опи­сан­ную около тре­уголь­ни­ка ABC, в точке A2. Най­ди­те пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков OA2C и A1A2C (O  — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC).

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ABC на­хо­дим, что

B C в квад­ра­те =16 плюс 36 минус 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 6 умно­жить на 4=28 \Rightarrow B C= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 28 конец ар­гу­мен­та .

Тогда по тео­ре­ме си­ну­сов ра­ди­ус окруж­но­сти R равен

дробь: чис­ли­тель: B C, зна­ме­на­тель: 2 синус 60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Угол A_2 O C  — цен­траль­ный, по­это­му он вдвое боль­ше угла A_2 A C, ко­то­рый по усло­вию равен 30 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка , по­это­му \angle A_2 O C=60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка . Тогда пло­щадь тре­уголь­ни­ка O A_2 C равна

дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на R в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка делит про­ти­во­по­лож­ную сто­ро­ну про­пор­ци­о­наль­но двум дру­гим сто­ро­нам, по­это­му

A_1 C: A_1 B=A C: A B=6: 4,

от­ку­да

A_1 C= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби B C= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 28 конец ар­гу­мен­та .

Тре­уголь­ник O A_2 C минус рав­но­сто­рон­ний, по­это­му A_2 C=R. Углы A_2 C A_1 и A_2 A B равны как впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дуту, по­это­му \angle A_2 C A_1=30 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка . Зна­чит,

S_A_1 A_2 C= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 28 конец ар­гу­мен­та умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 28 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби умно­жить на синус 30 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 7 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

 

Ответ: S_OA_2C= дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби ; S_A_1A_2C= дробь: чис­ли­тель: 7 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Най­ден от­ре­зок BC — 1 балл.

Най­ден ра­ди­ус окруж­но­сти — 1 балл.

До­ка­за­но, что тре­уголь­ник OA_2C — рав­но­сто­рон­ний и най­де­на его пло­щадь — 1 балл.

Най­де­на пло­щадь тре­уголь­ни­ка A_1A_2C — 3 балла.


Аналоги к заданию № 1279: 1306 Все

Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024