Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Точка P лежит на стороне BC треугольника ABC с углом 60° при вершине A. В треугольники APB и APC вписаны окружности с центрами D и T соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ADT, если 
Решение.
Спрятать критерииЦентр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому лучи PT и PD являются биссектрисами углов CPA и BPA. Поскольку угол между биссектрисами смежных углов прямой, то 
и тогда по теореме Пифагора находим, что
Так как AD и AT — биссектрисы углов BAP и CAP, то
По обобщённой теореме синусов для треугольника ADT находим, что искомый радиус равен
Ответ: 
?
Олимпиада школьников Физтех, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год