Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Точка K лежит на стороне AB треугольника ABC с углом 120° при вершине C. В треугольники AKC и BKC вписаны окружности с центрами O и Q соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника OQC, если 
Решение.
Спрятать критерииЦентр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому лучи KO и KQ являются биссектрисами углов AKC и BKC. Поскольку угол между биссектрисами смежных углов прямой, то 
и тогда по теореме Пифагора находим, что
Так как CO и CQ — биссектрисы углов ACK и BCK, то
По обобщённой теореме синусов для треугольника ADT находим, что искомый радиус равен
Ответ: 
?
Олимпиада школьников Физтех, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год